И собственные значения
Собственная функция оператора определяется уравнением
, (2.8)
где – собственное значение оператора. Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.
Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат . Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.
Спектр оператора – это множество его собственных значений .
Если счетное, то спектр дискретный.
Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.
Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.
Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.
Доказательство:
Пусть – собственная функция , тогда
.
Действуем оператором на обе стороны равенства
.
Учитываем коммутативность операторов
,
получаем
.
Следовательно, – собственная функция , пропорциональная :
.
Полученное равенство означает, что – собственная функция с собственным значением .
Оператор координаты . Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда
Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. В результате
Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции
,
находим
.
Функция равна нулю во всех точках, кроме , где x0 – любое вещественное число, поэтому спектр x0 непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается в точке x0. В результате обоснована форма оператора координаты.
Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид
.
Подстановка дает
.
Откуда , тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x0, есть
. (2.9)
Оператор проекции импульса . Уравнение на собственную функцию дает
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
.
Разделяем переменные
,
интегрируем
,
находим
.
Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля
, (1.11)
описывающей движение частицы с постоянным импульсом. В результате обоснована форма оператора импульса. Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра
дает
.
Используя
,
находим . В результате собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p, равна
. (2.10)
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 833;