И его решение
Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры показывают, что колебательные системы, несмотря на различия в конструкции и даже физической природе процессов, происходящих в них, описываются одним и тем же уравнением вида
, (3.1)
где – некоторая физическая величина, характеризующая состояние системы;
– постоянная величина, зависящая от параметров системы. Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Уравнение (3.1) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение можно представить в виде
. (3.2)
Используя формулы приведения, решение (3.2) можно записать в виде
, (3.3)
где .
Колебания, имеющие синусоидальную или косинусоидальную форму, называются гармоническими, а сама колебательная система, в которой происходят гармонические колебания – гармоническим осциллятором. Таким образом, уравнение вида (3.1) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний, а его решения (3.2), (3.3) описывают гармонические колебания. График гармонического колебания изображен на рисунке 3.1.
Максимальное отклонение А физической величины , характеризующей состояние колебательной системы, от равновесного состояния называется амплитудой колебания. Величина
в выражениях (3.2), (3.3) называется циклической частотой колебаний. Циклическая частота равна числу колебаний, совершаемых за время
секунд. Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний
. Частота
связана с циклической частотой
соотношением
. (3.4)
Наименьший интервал времени , по истечении которого колебательная система возвращается в первоначальное состояние, называется периодом колебаний. Частота колебаний
и циклическая частота
связаны с периодом
соотношениями
; (3.5)
. (3.6)
Величина в выражениях (3.2), (3.3) называется фазой колебаний. Фаза колебаний
в начальный момент времени
называется начальной фазой колебаний.
Размерность амплитуды колебаний А определяется размерностью физической величины , характеризующей состояние колебательной системы. Период колебаний, как это следует из определения, измеряется в секундах. Частота n измеряется в герцах. Один герц соответствует одному колебанию в секунду (1 Гц
). Размерность циклической частоты:
или рад/с. Фаза колебаний измеряется в радианах.
Рассмотренные примеры показывают, что если состояние колебательной системы описывается дифференциальным уравнением вида (3.1), то в такой системе могут происходить свободные (собственные) гармонические колебания вида (3.2), (3.3), причем коэффициент в уравнении (3.1) представляет собой квадрат циклической частоты колебаний. Циклическая частота (а значит и период колебаний) определяется только параметрами колебательной системы и не зависит от амплитуды и фазы колебаний (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Колебательная система | Математи-ческий маятник | Физический маятник | Пружинный маятник | LC-контур |
Период колебаний Т, с | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Гармонические колебания возникают при условии, когда отклонение системы от положения равновесия вызывает действие "возвращающей силы" (любой природы), направленной к положению равновесия и прямо пропорциональной отклонению от положения равновесия.
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями, под которыми понимаются значения искомой функции и ее первой производной
в начальный момент времени (
), т. е.
и
. Если начальные условия известны, то, приравнивая
и ее производную в момент времени
заданным значениям, получим систему уравнений
решая которую, получим
, (3.7)
. (3.8)
§ 4. Энергетические превращения,
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1006;