Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Если колебательная система имеет две степени свободы, то ее состояние характеризуется двумя независимыми величинами и , т. е. некоторой точкой на плоскости . Так как координаты и меняются во времени, то точка совершает движение по плоскости . Простейший пример такой системы приведен на рисунке 7.1. Колебания груза на пружинах могут происходить в двух взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому движение груза представляет собой сложение двух перпендикулярных колебаний и .

Рассмотрим случай, когда и изменяются с одной и той же частотой и имеют разность фаз . Если начало отсчета времени выбрать так, чтобы начальная фаза колебания равнялась нулю, то складываемые перпендикулярные колебания можно записать в виде

(7.1)

Уравнения (7.1) определяют траекторию движения точки на плоскости в параметрической форме. Чтобы получить явное выражение для траектории, необходимо исключить из системы уравнений (7.1) время . Из аналитической геометрии известно, что в общем случае получается уравнение эллипса, у которого размеры полуосей и их наклон по отношению к координатным осям определяются амплитудами , и разностью фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи:

а) .

Используя формулы приведения для тригонометрических функций, легко показать, что . Отсюда следует, что траектория движения точки представляет собой прямую (рис. 7.2, а), проходящую через первый и третий квадранты и образующую с осью угол , определяемый соотношением

;

б) .

Аналогично предыдущему случаю можно сделать вывод, что траектория движения точки представляет собой прямую , проходящую через второй и четвертый квадранты (рис. 7.2, б) и образующую с осью угол , определяемый соотношением

;

в) .

В этом случае уравнения (7.1) принимают вид

Независимо от знака эти уравнения после исключения времени дают уравнение эллипса, полуоси которого совпадают с осями координат:

.

Если разность фаз , то движение точки по эллипсу происходит по часовой стрелке (рис. 7.2, в). При изображающая точка движется против часовой стрелки (рис. 7.2, г).

Если частоты перпендикулярных колебаний не равны, то результат их сложения не столь однозначен. При произвольном соотношении частот траектория движения изображающей точки не может быть представлена в виде какой-либо замкнутой линии, а будет сплошь заполнять на плоскости прямоугольник со сторонами и . Движение точки по устойчивой замкнутой траектории будет происходить лишь в том случае, если частоты складываемых колебаний и относятся как простые целые числа, т. е. . Получающиеся при этом фигуры называются фигурами Лиссажу.

Форма фигур Лиссажу зависит от разности начальных фаз колебаний. Наблюдение фигур Лиссажу используется для сравнения частот и разности фаз двух гармонических колебаний.