Происходящие при гармонических колебаниях

Проанализируем, как изменяется энергия в процессе колебаний. Для этого ограничимся двумя из рассмотренных примеров гармонического осциллятора: пружинный маятник и LC-контур.

а) Пружинный маятник

Для пружинного маятника полная энергия складывается из кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины. Потенциальная энергия равна или с учетом (3.2)

. (4.1)

Для нахождения кинетической энергии определим скорость груза:

. (4.2)

Тогда кинетическая энергия будет равна

. (4.3)

Из выражений (4.1), (4.3) видно, что потенциальная и кинетическая энергии изменяются с удвоенной частотой и в противофазе, т. е. в тот момент времени, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю и наоборот. Подставляя в (4.3) и складывая кинетическую и потенциальную энергии для полной механической энергии системы, получим

. (4.4)

Отсюда следует, что в процессе колебаний груза кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот так, что полная механическая энергия системы в любой момент времени остается постоянной. На рисунке 4.1 приведены графики изменения кинетической и потенциальной энергий пружинного маятника.

б) -контур

В этом случае потенциальной энергии соответствует энергия электрического поля заряженного конденсатора, а кинетической энергии – энергия магнитного поля катушки индуктивности. Заряд конденсатора в процессе колебаний изменяется в соответствии с (3.2), где вместо следует подставить заряд , т. е. . Сила тока в контуре

.

Тогда энергия W электрического и магнитного полей

,

.

Так как , то и для полной энергии электромагнитного поля в контуре получим выражение

.

Таким образом, в процессе колебаний в контуре энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля, но при этом полная энергия электромагнитного поля остается постоянной. Энергия W электрического и магнитного полей, как и для пружинного маятника, изменяются с удвоенной частотой и в противофазе по отношению друг к другу.

Легко показать, что к подобному результату приводит рассмотрение энергетических превращений в процессе колебаний математического и физического маятников. Это позволяет сделать общий вывод: в процессе гармонических колебаний полная энергия системы остается постоянной; при этом происходит превращение энергии из одной формы в другую (кинетической в потенциальную, электрической в магнитную) так, что каждая из них изменяется с удвоенной частотой и в противофазе по отношению друг к другу.