Общие представления о колебаниях. Виды колебаний

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Учебное пособие

Орёл

УДК 53(075)

ББК 22.3

М294

Р е ц е н з е н т ы:

д-р физ.-мат. наук, проф. В. С. Шоркин,

Государственный университет – УНПК;

канд. техн. наук, доц. В. В. Сергеев,

Академия ФСО России

Мартынов, М. С.

М294 Колебания и волны : учебное пособие / М. С. Мартынов,
Ю. Г. Долотин. – Орёл : Академия ФСО России, 2012. - 231 с.

Учебное пособие предназначено для студентов и курсантов, обучающихся по специальностям радиосвязи и обеспечения информационной безопасности телекоммуникационных систем.

В учебном пособии рассматриваются основы теории колебаний и волн, изучаемые в рамках курса общей физики. Большое внимание уделяется применению изучаемой теории в радиотехнике и связи.

Учебное пособие обсуждено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры, протокол № 7 от 13 апреля 2011 г.

УДК 53(075)

ББК 22.3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................................................... 6

Глава 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ......................................... 7

§ 1. Общие представления о колебаниях. Виды колебаний.................. 7

§ 2. Модель гармонического осциллятора............................................. 8

§ 3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение........................................................................................................... 12

§ 4. Энергетические превращения, происходящие при гармонических колебаниях................................................................................................. 15

§ 5. Графическое изображение колебаний........................................... 17

§ 6. Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения 19

§ 7. Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу....... 21

§ 8. Комплексная форма представления колебаний............................. 25

§ 9. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний............... 26

§ 10. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Характеристики затухающих колебаний.............................................. 28

§ 11. Электрические затухающие колебания........................................ 31

§ 12. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение........................................................................................................... 32

§ 13. Установление вынужденных колебаний. Время установления и его связь с добротностью............................................................................ 36

§ 14. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса 37

§ 15. Вынужденные колебания в электрических цепях........................ 42

§ 16. Понятие о связанных гармонических осцилляторах. Нормальные колебания (моды)................................................................................... 45

§ 17. Гармонический осциллятор как спектральный прибор. Элементы Фурье-анализа....................................................................................... 49

Вопросы для самоконтроля.................................................................. 51

Глава 2. АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ................................ 53

§ 18. Понятие о нелинейном осцилляторе. Физические системы, содержащие нелинейности.................................................................................. 53

§ 19. Автоколебательные системы........................................................ 54

§ 20. Понятие о релаксационных колебаниях...................................... 59

§ 21. Параметрический резонанс.......................................................... 61

Вопросы для самоконтроля.................................................................. 63

Глава 3. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ.................................................... 64

§ 22. Волновые процессы. Виды волн.................................................. 64

§ 23. Монохроматическая бегущая волна............................................ 66

§ 24. Уравнения плоской и сферической волн. Волновой вектор....... 68

§ 25. Волновое уравнение..................................................................... 71

§ 26. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах.................. 73

§ 27. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова. 77

§ 28. Эффект Доплера............................................................................ 79

§ 29. Поведение звука на границе раздела двух сред.......................... 81

§ 30. Поверхностные акустические волны............................................ 84

§ 31. Понятие об ударных волнах........................................................ 85

Вопросы для самоконтроля.................................................................. 87

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ............................................. 89

§ 32. Скалярное и векторное поля........................................................ 89

§ 33. Дивергенция вектора. Теорема Остроградского–Гаусса........... 89

§ 34. Ротор вектора. Теорема Стокса................................................... 92

§ 35. Операторы Гамильтона и Лапласа.............................................. 93

§ 36. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме..... 97

§ 37. Уравнение непрерывности......................................................... 100

§ 38. Волновое решение уравнений Максвелла................................. 101

§ 39. Плоская электромагнитная волна. Свойства электромагнитных волн.............................................................................................................. 104

§ 40. Эффект Доплера для электромагнитных волн.......................... 109

§ 41. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Умова–Пойнтинга................................................................................ 111

§ 42. Излучение диполя....................................................................... 113

Вопросы для самоконтроля................................................................ 116

Глава 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН.................. 118

§ 43. Принцип суперпозиции волн..................................................... 118

§ 44. Интерференция плоских волн.................................................... 118

§ 45. Интерференция сферических волн............................................. 122

§ 46. Интерференция волн от двух когерентных источников........... 125

§ 47. Интерференция в плоскопараллельной пластине..................... 126

§ 48. Понятие о многолучевой интерференции. Интерферометр Фабри–Перо...................................................................................................... 129

§ 49. Стоячие электромагнитные волны............................................. 132

§ 50. Когерентность волн.................................................................... 135

§ 51. Методы наблюдения интерференционной картины.................. 138

§ 52. Применение интерференции....................................................... 139

§ 53. Дифракция электромагнитных волн. Принцип Гюйгенса–Френеля.............................................................................................................. 142

§ 54. Метод зон Френеля..................................................................... 143

§ 55. Дифракция Фраунгофера и Френеля......................................... 146

§ 56. Графическое сложение амплитуд. Дифракция на круглом отверстии и диске.................................................................................................. 147

§ 57. Дифракция Фраунгофера на узкой щели.................................. 151

§ 58. Дифракция Френеля на краю полуплоскости........................... 154

§ 59. Дифракция на многих щелях. Дифракционная решетка.......... 156

§ 60. Дифракция света на ультразвуке............................................... 160

§ 61. Дифракция рентгеновских лучей............................................... 163

§ 62. Понятие о голографии................................................................ 164

§ 63. Интерференция и дифракция радиоволн................................... 166

§ 64. Геометрическая оптика. Аберрации оптических и электронных систем....................................................................................................... 168

Вопросы для самоконтроля................................................................ 172

Глава 6. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН......... 174

§ 65. Естественный и поляризованный свет....................................... 174

§ 66. Закон Малюса............................................................................. 176

§ 67. Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера 178

§ 68. Двойное лучепреломление......................................................... 181

§ 69. Искусственная анизотропия. Электрооптический и магнитооптический эффекты........................................................................................ 185

§ 70. Интерференция поляризованных лучей.................................... 189

§ 71. Поляризационные эффекты при распространении радиоволн в атмосфере................................................................................................ 190

Вопросы для самоконтроля................................................................ 192

Глава 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ.......................................................................................... 193

§ 72. Дисперсия электромагнитных волн. Нормальная и аномальная дисперсии................................................................................................... 193

§ 73. Групповая скорость. Формула Рэлея........................................ 194

§ 74. Элементарная теория дисперсии................................................ 195

§ 75. Закон Бугера............................................................................... 198

§ 76. Рассеяние света............................................................................ 200

§ 77. Элементы нелинейной оптики.................................................... 202

§ 78. Двухпроводная линия................................................................ 204

§ 79. Режимы работы двухпроводной линии..................................... 209

§ 80. Волноводы.................................................................................. 212

§ 81. Понятие об объемных резонаторах........................................... 215

§ 82. Физика волоконных световодов................................................. 216

§ 83. Потери в оптических волокнах.................................................. 221

§ 84. Дисперсия в волокнах................................................................. 223

§ 85. Понятие о приеме и обработке оптических сигналов............... 227

Вопросы для самоконтроля................................................................ 229

Заключение........................................................................................... 230

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу учебного пособия положены соответствующие разделы курса лекций по общей физике, читаемого авторами курсантам первого года обучения в Академии ФСО России.

Теория колебаний и волн имеет большое значение для будущей профессиональной подготовки военных инженеров-связистов. Прочные знания этих разделов физики закладывают фундаментальные основы для последующего изучения многих общепрофессиональных и специальных технических дисциплин.

В учебном пособии достаточно большое внимание уделяется прикладным аспектам изучаемой физической теории. Рассмотрение большинства физических явлений и эффектов сопровождается примерами их использования в технике связи и других областях практической деятельности. По мнению авторов, пояснение физического содержания прикладных вопросов целесообразнее дать в контексте рассмотрения общих физических положений, что должно содействовать их более глубокому пониманию при изучении специальных дисциплин. Предварительное знакомство с практическим использованием изучаемых физических процессов в будущей профессиональной деятельности должно способствовать развитию интереса к изучению физики.

При написании учебного пособия учитывалось, что изучение основ теории колебаний и волн идет параллельно с приобретением необходимых математических знаний и навыков. В связи с этим при рассмотрении отдельных вопросов пришлось упростить материал, чтобы сохранить доступность изложения. В значительной степени это касается прикладных вопросов, которые будут изучаться более подробно на старших курсах.

Авторы выражают признательность профессору Юшину В. Н. за замечания по содержанию учебного пособия, а также Ермаковой О. О. за работу по оформлению и подготовке рукописи к изданию.

Глава 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Общие представления о колебаниях. Виды колебаний

В природе часто встречаются физические процессы, характеризуемые (в той или иной степени) повторяемостью во времени. Такие процессы называются колебаниями. Среди них можно выделить периодические колебания, при которых физическая система периодически проходит через одни и те же (или приблизительно через одни и те же) состояния. Состояние физической системы характеризуется некоторым набором физических величин, поэтому в процессе периодических колебаний соответствующие физические величины периодически изменяются во времени, т. е.

, (1.1)

где – время; – наименьший интервал времени, по истечении которого система возвращается в исходное состояние; – физическая величина, характеризующая состояние системы; n – натуральное число.

Природа физических процессов может быть самой разной (например, механическое движение частей системы, изменение заряда и тока в электрической цепи, тепловое движение атомов в узлах кристаллической решетки и т. д.), однако все они обладают целым рядом общих свойств, которые обусловлены периодичностью процессов. Это позволяет выработать единый подход к анализу колебаний, выяснить ряд общих физических закономерностей, характеризующих эти процессы, что и составляет предмет специального раздела физики – теории колебаний.

В зависимости от причин, вызывающих колебания, различают свободные и вынужденные колебания. Если колебательная система в результате кратковременного внешнего воздействия выведена из состояния равновесия, а затем предоставлена сама себе, то в ней возникают собственные (свободные) колебания. Свободные колебания могут быть незатухающими, когда в системе не происходит диссипация (рассеяние) энергии, и затухающими, когда в системе имеются потери энергии, в результате чего колебания постепенно затухают.

Если колебательная система подвергается периодическому внешнему воздействию, отклоняющему ее от состояния равновесия, то колебания называются вынужденными. Если же в результате внешнего воздействия происходят периодические изменения параметров колебательной системы (например, длины нити маятника, индуктивности или емкости LC-контура и т. п.), то в системе могут возникнуть колебания, называемые параметрическими.

Автоколебания также происходят в результате внешнего воздействия, однако в отличие от вынужденных и параметрических колебаний это воздействие регулируется самой колебательной системой. Примером автоколебательной системы являются механические часы.

Число независимых физических величин, характеризующих состояние колебательной системы, называется числом степеней свободы. В зависимости от сложности физической системы ее состояние может характеризоваться одной или несколькими независимыми физическими величинами.