Механика. Материальная точка. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки

Механика – это наука о механическом движении тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Кинематика – раздел механики, который рассматривает лишь само перемещение тел в зависимости от времени.

, (1.1)

где - векторы, указывающиенаправление осей Ox, Oy, Oz и равные по модулю единице.

Вектор ,соединяющий начальное и конечное положение тела (точки 1 и 2 на рис. 1.1), называют перемещением. Модуль перемещения меньше или равен пути l– расстоянию, пройденному телом по траектории; они равны в случае прямолинейного движения в одну сторону.

Для определения быстроты движения тела вводят понятие мгновенной скорости тела в данной точке траектории, равную первой производной от радиус-вектора (или перемещения ) по времени t:

(1.2)

Вектор в каждой точке траектории пространства направлен по касательной к ней (рис. 1.2).

Часто используют понятие средняя путевая скорость – скалярная физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом за времяt, к этому времени t.

Быстроту изменения скорости определяют, введя понятиемгновенного ускорения – ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скорости по времени t:

(1.3)

Проекцию вектора ускорения на направление касательной к траектории называют касательным (тангенциальным) ускорением , а на направление, перпендикулярное к касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением (см. рис. 1.2):

(1.4)

где v– числовое значение скорости; R– радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности R, вписанный в малый участок траектории вблизи этой точки.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее числовой величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению.

Приведем вывод формул для ускорений a_τ и a_n . Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени ∆t(рис. 1.3).

Перенесем вектор параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по модулю вектору , получим точку 3 (рис. 1.3б). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух векторов При ∆t→0 углы α и β стремятся соответственно к 0⁰ и 90⁰, поэтому вектор , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор будет перпендикулярен к . Следовательно,

(1.5)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 1.3а) при малых ∆t→dtбудут равны dl_1,2 = ds_1,2 = vdt. Из подобия треугольников ∆102 (рис. 1.3а) и ∆1v₁3 (рис. 1.3б) следует

.