Погрешности компьютерного эксперимента

Процесс исследования объекта или явления методом математического моделирования и компьютерного эксперимента всегда носит приближенный характер, поскольку на каждом его этапе вносятся те или иные погрешности.

1. Переход от объекта к математической модели

Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неустранимы в рамках данной модели. Эти погрешности будем называть погрешностями модели.

2. Переход от математической модели к численному методу

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно.

Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбивается на два этапа:

1) формулировка дискретной задачи;

2) разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

Например, если исходная задача сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений, то для численного решения ее необходимо заменить системой разностных алгебраических уравнений. Ясно, что решение дискретной задачи отличается от решения исходной математической задачи. Разность соответствующих решений называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или множества параметров) дискретизации, при стремлении которого к нулю погрешность дискретизации тоже стремится к нулю. При этом число алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает. В случае применения разностных методов таким параметром является шаг сетки.

3. Переход от вычислительного алгоритма к решению задачи на ЭВМ

Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Входные данные этой системы задаются в ЭВМ не точно, а с округлением, что связано с особенностями представления чисел в ЭВМ. В ЭВМ числа представляются в двоичной системе, т.е. в виде совокупности двоичных разрядов. Для записи каждого числа в ЭВМ отводится фиксированное число двоичных разрядов (разрядная сетка). Например, для хранения числа с плавающей запятой отводится 48 двоичных разрядов. Это приводит к тому, что, во-первых, существуют минимальное и максимальное числа М_мин и М_макс; во-вторых, числа в диапазоне (М_мин, М_макс) представлены в ЭВМ не все, а лишь некоторые. В результате этого при вводе некоторого числа а, это число заменяется на его округленное значение а^*, ближайшее к а, которое представлено в ЭВМ. Величину | а-а^* | / | а | будем называть погрешностью округления, или вычислительной погрешностью.

В процессе проведения вычислений с округленными числами погрешности могут накапливаться, так как выполнение каждой из арифметических операций вносит некоторую погрешность.

Вычислительный алгоритм называют устойчивым, если в процессе его работы погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым – в противном случае. При использовании неустойчивых алгоритмов накопление погрешностей округления приводит в процессе счета к переполнению арифметического устройства ЭВМ.

Итак, следует различать три вида погрешностей:

· погрешности модели;

· погрешности метода;

· вычислительные погрешности.

Какая из этих погрешностей преобладает? Ответ здесь неоднозначен. Например, при решении задач математической физики типичной является ситуация, когда погрешность модели значительно превышает погрешность метода, а погрешностью округления в случае использования устойчивых алгоритмов можно пренебречь по сравнению с погрешностью метода.

С другой стороны, при решении, например, систем обыкновенных дифференциальных уравнений возможно применение столь точных численных методов, что их погрешность будет сравнима с погрешностью округления.

В общем случае необходимо стремиться, чтобы все указанные погрешности имели один и тот же порядок.