Требования к вычислительным алгоритмам

Одной и той же математической задаче можно поставить в соответствие множество различных дискретных моделей. Однако далеко не все они пригодны для практической реализации на ЭВМ.

Можно выделить две группы требований к численным методам. Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче, а вторая – с реализуемостью численного метода на ЭВМ.

К первой группе относятся такие требования, как сходимость численного метода, выполнение дискретных аналогов законов сохранения, качественно правильное (физически) поведение решения дискретной задачи.

Поясним эти требования. Предположим, что дискретная модель математической задачи представляет собой систему большого, но конечного числа алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее мы хотим получить решение, тем больше уравнений приходится брать. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.

Сходимость численного метода тесно связана с его корректностью. Предположим, что исходная математическая задача поставлена корректно, т.е. ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная модель этой задачи должна быть построена таким образом, чтобы свойство корректности сохранилось. Таким образом, в понятие корректности численного метода включаются свойства однозначной разрешимости соответствующей системы уравнений и ее устойчивость по входным данным.

Вторая группа требований, предъявляемых к численным методам, связана с возможностью реализации данной дискретной модели на конкретной ЭВМ, т.е. с возможностью получить на ЭВМ решение соответствующей системы алгебраических уравнений за приемлемое время. Основным препятствием для реализации корректно поставленного алгоритма является ограниченный объем памяти ЭВМ и ограниченные ресурсы времени счета. Реальные вычислительные алгоритмы должны учитывать эти обстоятельства, т.е. они должны быть экономичными как по числу арифметических действий, так и по требуемому объему памяти.