Понятие математической модели

Математическими называют модели, обеспечивающие переход к оригиналу, фиксацию и исследование его свойств и отношений с помощью математических методов.

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью, обеспечивающей фиксацию и исследование свойств и отношений оригинала, а также переход к оригиналу с помощью математических методов. Особое значение среди математических моделей имеют подобные модели, обеспечивающие перенос данных на основании подобия.

Сходство объектов по их математическому описанию, т.е. математическая аналогия, при определенных условиях превращается в математическое подобие или просто подобие. Подобие – это полная математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными, неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственным уравнениям.

Математическое описание конкретного объекта может иметь разнообразную форму. В простейшем случае – это явная функция, выражающая переменную через ее аргументы:

y=f(x₁, x₂, x₃, … x_n) (y=f(x_i), i=1, 2, … n).

В более сложном случае это конечное уравнение вида

F(y, x_i) = 0, i = 1, 2, … n,

выражающее зависимость y=f(x_i) в неявной форме.

В еще более сложном случае - это обыкновенное дифференциальное уравнение

F(y, y¢, ...y⁽ⁿ⁾, x_i, x¢_I, … x_i^(m), t)=0,

связывающее независимую переменную t, известные функции x_i=x_i(t), неизвестную функцию y=y(t) и производные функций x_i и y.

Наконец, математическим описанием может быть дифференциальное уравнение в частных производных.

Два объекта называются подобными, если:

1) они имеют сходственное математическое описание:

F(y₁, x_1i, t_1k)=0, (5.1)

F(y₂, x_2i, t_2k)=0, (5.2)

где y₁, y₂ – неизвестные функции; x_1i , x_2i – заданные функции независимых переменных t_1k и t_2k;

2) сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами или константами подобия:

m_y =y₁/ y₂, m_xi=x_1i/ x_2i, m_t=t_1k/ t_2k. (5.3)

При условии (5.3) сходственные уравнения (5.1) – (5.2) и функции, описывающие математические аналоги, а также содержащиеся в них сходственные переменные называют подобными. Подобные функции могут быть изображены в пространстве подобных переменных одной и той же кривой или поверхностью.

Пример

Сходственные функции y₁=x₁² и y₂=8x₂² подобны, если m_y=y₁/ y₂ =2, m_x=x₁/ x₂ =4.

Для того чтобы убедиться, что данные функции изображаются одной кривой, постройте функции на одном графике, учитывая масштабные коэффициенты.

Особыми частными случаями подобия являются геометрическое, физическое и временное подобие. Геометрическое подобие – это подобие геометрических образов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел). Физическое подобие – это подобие физически однородных объектов. Временное подобие – это подобие функций времени.

В теории и практике подобие имеет большее значение, чем аналогия. При аналогии двух объектов распространение свойств одного на другой носит характер предположения и нуждается в проверке. При подобии двух объектов знание поведения одного из них означает знание поведения другого.

Пример

В строительстве типичной задачей является расчет напряжений, возникающих в балке с заданными сечением и размерами под действием крутящей нагрузки. Простой, но эффективной физической моделью для решения данной задачи является следующая модель: берется труба того же сечения, что и балка, и затягивается с торца резиновой пленкой (мембраной). По трубе подается воздух под определенным давлением. Прогиб мембраны измеряется, и с помощью формул подобия результат пересчитывается в величину напряжений в деформированной балке. Возможность такого переноса результатов заключается в математическом подобии уравнений, описывающих напряжения в изогнутой балке и прогиб мембраны под избыточным давлением.

Осталось сделать еще один шаг – заменить физическое моделирование исследованиями математической модели.

Математические модели и математические методы используются физикой с самого начала ее возникновения. Со времени Галилея описание физического явления или процесса считается достоверным, если оно выражено с помощью числовых величин.