Теорема Гаусса для электрического поля

Эта теорема представляет собой только следствие закона Кулона и принципа суперпозиции электрических полей. Вот её формулировка:

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключённых внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную e₀.

(2.6)

Доказательство теоремы начнём с простейшего случая: вычислим поток вектора напряжённости поля точечного заряда Q.

Напряжённость этого поля хорошо известна (см. 1.3)

Учитывая сферическую симметрию поля, выберем вначале в качестве гауссовой замкнутой поверхности сферу радиусом r, с центром в той точке, где находится заряд Q (рис. 2.5., 1). Поток вектора напряжённости через эту поверхность вычислить легко

(2.7)

Здесь мы учли, что:

В каждой точке гауссовой поверхности векторы и совпадают по направлению, поэтому угол между ними a = 0, а cosa = 1.

Во всех точках гауссовой поверхности напряжённость поля одинакова по величине и равна

Рис. 2.5.

Учитывая последнее замечание, запишем поток (2.7) в следующем виде:

(2.8)

Таким образом, для первого простейшего случая теорема Гаусса оказалась справедливой. Что из этого следует?

Полученный результат позволяет заключить, что найденный поток не зависит от радиуса гауссовой поверхности. Это легко понять: ведь с увеличением расстояния от заряда Q площадь поверхности растёт пропорционально квадрату радиуса, а напряжённость поля убывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Вспомним, кроме того, что поток вектора напряжённости равен числу силовых линий, пронизывающих гауссову поверхность. Независимость потока от радиуса поверхности означает, что силовые линии поля точечного заряда, начинаясь на положительном заряде, простираются далее до бесконечности, не прерываясь. Отсюда — дальнейшие выводы.

Поток вектора напряжённости поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность (рис. 2.5, 2), охватывающую точечный заряд Q, равен отношению

Этот вывод несомненен, так как поток равен прежнему неизменному числу силовых линий, пронизывающий замкнутую поверхность.

Поток вектора напряжённости, через произвольную замкнутую поверхность, не охватывающую электрический заряд, равен нулю (рис. 2.5, 3).

Этот вывод также легко понять, так как число силовых линий втекающих в гауссову поверхность, равно числу линий, покидающих её. Поэтому суммарный поток через эту поверхность равен нулю.

Теперь можно обратиться к рассмотрению общего случая: пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает N точечных зарядов (рис. 2.6.). Вычислим поток вектора напряжённости суммарного поля через эту поверхность S, учтя, что в соответствии с принципом суперпозиции результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей

Рис. 2.6.

Итак, воспользовавшись определением потока, вычислим его через произвольную замкнутую поверхность S.

(2.9)

Полученный результат является доказательством справедливости теоремы Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

5. Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей