Кинематические характеристики плоской скалярной волны.
В общем случае уравнение плоской скалярной волны можно записать в виде
S = f (t,x) (1.7)
Это уравнение означает, что скалярный параметр S в любой заданный момент времени имеет одно и то же значение во всех точках плоскости x = x1 = const.
Наибольший интерес для нас будет представлять волна, в которой координата (х) и время (t) входят в уравнение (1.7) в виде линейной комбинации
S = f (at - bx). (1.8)
Здесь a и b — постоянные,
f — функция, определяющая форму передаваемого сигнала.
Мы будем рассматривать распространение гармонического колебания, когда параметр S меняется во времени и в пространстве по гармоническому закону.
a) Осциллограмма волны: S = f (t).
Рассмотрим зависимость S = f (t) для двух плоскостей x = 0 и x = x1.
x = 0 S(t,0)= S(at) (1.9)
(1.10)
Сравнение уравнений (1.9) и (1.10) показывает, что изменение параметра S в плоскости x, в точности повторяет изменение этой величины в плоскости x = 0, но с запаздыванием на , где .
b) Фотография волны.
Рассмотрим фотографию волны в плоскости x в моменты времени t = 0 и t = t1.
(1.11)
. (1.12)
Сопоставляя эти уравнения, приходим к выводу, что волна не меняет своей формы: за время t1 сигнал перемещается со скоростью вдоль оси Х на расстояние vt1. Волна при этом не деформируется.
Вывод:
— уравнение плоской скалярной, недеформируемой волны, распространяющейся со скоростью в положительном направлении оси x.
В случае синусоидальной волны f — гармоническая функция координаты и времени.
Путь в плоскости, проходящей через начало координат, происходят колебания с частотой ω (рис. 1.2).
начальная фаза колебаний.
В плоскости, отстоящей от исходной на расстоянии l, эти колебания повторяются с запаздыванием .Здесь v — скорость распространения волны.
Колебания в точке, определяемой радиус – вектором (рис.1.2):
Мы пришли к уравнению плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.
(1.14)
Рис. 1.2
Здесь: — волновой вектор,
— волновое число.
— единичный вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны.
Волновой вектор — тоже указывает направление движения волны.
В частном случае
(1.15)
Формула 1.15 — уравнение плоской волны, движущейся в положительном направлении оси Х.
Это монохроматическая (одноцветная) волна
Зафиксировав какое – либо значение фазы волны, получим уравнение движения выбранной фазовой поверхности (в нашем случае – плоскости)
(1.16)
Волновой (фазовой) поверхностью называется геометрическое место точек, в которых фаза волны имеет одинаковое значение.
Продифференцируем уравнение (1.16) по времени:
. (1.17)
Скорость движения фазовой поверхности vф равна скорости распространения волны. Если плоская волна движется в отрицательном направлении оси x, то v < 0 и уравнение волны принимает вид
.
Уравнение волны является решением дифференциального волнового уравнения:
. (1.18)
Докажем это, показав, что гармоническая функция (1.15) обращает дифференциальное уравнение (1.18) в тождество.
Здесь — фаза волны.
.
Рассмотрим две фазовые поверхности плоской волны
.
.
Разность этих фаз
Колебания, происходящие со сдвигом по фазе, кратным 2π, называются
синфазными. Иными словами, разность фаз двух синфазных колебаний равна
Минимальное расстояние между двумя фазовыми поверхностями, в которых происходят синфазные колебания, называется длиной волны (λ)
.
.
Поэтому
. (1.19)
Здесь: — период колебания,
λ — длина волны. Длину волны теперь можно определить как расстояние, которое проходит волна за время одного полного колебания T (λ = v T).
Дата добавления: 2015-08-04; просмотров: 1401;