Прямой центральный удар двух АТТ

Определение: Удар двух АТТ, при котором общая нормаль к поверхностям АТТ в точке их соприкосновения проходит через их центры масс и скорости центров масс АТТ в начале удара направлены по этой общей нормали, называется прямым центральным ударом.

Рассмотрим прямой центральный удар двух поступательно движущихся АТТ с массами m₁ и m₂ . Обозначим скорости центров масс этих соударяющихся АТТ в начале удара через , а в конце удара – через .

Если второе АТТ находится впереди первого и , то первое АТТ нагонит второе и произойдет явление рассматриваемого удара (рис. 51).

Рис. 51

Задача о прямом центральном ударе двух АТТ состоит в том, чтобы, зная массы АТТ, скорости центров масс этих АТТ в начале удара и коэффициент восстановления, определить, во-первых, скорости центров масс АТТ в конце удара и, во- вторых, ударный импульс. Для решения этой задачи применим теорему об изменении количества движения СМТ к системе двух соударяющихся АТТ. Действующими на эту систему ударными силами будут реакции в точке удара, являющиеся силами внутренними. Внешних ударных сил нет, поэтому сумма внешних ударных импульсов в данном случае равна нулю и уравнение (8.8) примет вид:

или ,

т. е. количество движения СМТ в начале и конце удара одинаково.

Проектируя обе части этого векторного равенства на ось С₁x положительное направление на которой будем считать от С₁ к С₂, получим:

. (8.14)

В этом уравнении две неизвестных скорости . Следовательно, чтобы определить эти неизвестные, надо найти второе уравнение, которое получим, если задать дополнительно коэффициент восстановления . При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из АТТ, а от того, насколько скорость ударяющего АТТ превышает скорость ударяемого, т. е. от разности . Поэтому при ударе двух АТТ, если учесть, что , а , получим:

,

Отсюда находим:

. (8.15)

Решая систему двух уравнений (8.14) и (8.15), получаем:

(8.16)

Для определения ударных импульсов , действующих на соударяющиеся АТТ при ударе, применим теорему об изменении количества движения СМТ только к одному из АТТ, например, к первому. Тогда внутренний ударный импульс в СМТ станет внешним ударным импульсом по отношению к первому АТТ и мы получим:

, ,

откуда на основании равенств (8.16) находим:

. (8.17)

Все эти уравнения получены в предположении, что поступательное движение АТТ до удара происходит в одном направлении.

Если второе АТТ до удара было неподвижно, то в формулах (8.16) и (8.17) следует положить , и тогда получим:

.

Если первое АТТ ударяется о неподвижную преграду (например, о стену), то следует принять в формулах (8.16) и . Поделив числитель и знаменатель соотношений (8.16) и (8.17) на и переходя к пределу при , найдем:

.

Эти формулы соответствуют тем, которые были получены ранее в пункте 8.3, в котором рассмотрен удар МТ о неподвижную поверхность.

8.8. Потеря кинетической энергии при прямом центральном ударе двух АТТ. Теорема Карно

Если удар не вполне упругий, то соударяющиеся АТТ не восстанавливают полностью своей формы в конце удара. Следовательно, часть кинетической энергии, которой обладали эти АТТ в начале удара, тратится на остающуюся деформацию их, а также на нагревание этих АТТ. Подсчитаем величину кинетической энергии, теряемой при прямом центральном ударе двух АТТ, полагая, что удар является не вполне упругим.

Предполагая, что соударяющиеся АТТ движутся поступательно, найдем кинетическую энергию СМТ, состоящую из двух АТТ, в начале и в конце рассматриваемого удара:

.

Следовательно, потеря кинетической энергии при ударе равна:

. (8.18)

Из уравнения (8.14) можно получить:

. (8.19)

Подставляя это значение в равенство (8.18) , получаем:

. (8.20)

Но из равенства (8.15) следует, что

,

при этом, очевидно, имеет место равенство:

,

из которого находим:

.

Подставляя это значение в равенство (8.20), получаем:

.

Используя равенство (8.19), полученную формулу представим в виде:

, (8.21)

где разности показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся АТТ, а поэтому их называют потерянными при ударе скоростями.

Равенство (8.21) составляет содержание теоремы Карно.

Теорема: Кинетическая энергия, потерянная СМТ, при прямом центральном и не вполне упругом ударе двух АТТ, равна - й доле той кинетической энергии, которую имела бы СМТ, если бы ее АТТ двигались с потерянными скоростями.

8.9. Определение ударных реактивных импульсов АТТ, вращающегося относительно неподвижной оси

Рассмотрим АТТ массы М, закрепленное в точке О подпятником, а в точке В – подшипником (рис. 52).

Рис. 52

Пусть при этом ОВ= . Введем неизменно связанную с АТТ систему координат Охyz с осью Оz, которая направлена по оси вращения АТТ, и плоскостью уОz, проведенной через центр масс С.

При действии на АТТ ударного импульса возникают реактивные ударные импульсы и . При этом реактивный ударный импульс в точке О может быть разложен на три составляющие , , , а в точке В – на две составляющие , .

Для определения этих пяти неизвестных воспользуемся теоремами о движении центра масс СМТ (8.11) и об изменении кинетического момента СМТ (8.13) при ударе в проекциях на оси декартовой системы координат.

Так как АТТ за время удара перемещается бесконечно мало, то векторы будут параллельны оси Оx и, следовательно,

где y_C – расстояние центра масс АТТ от оси вращения z , а w₀ и w – угловые скорости АТТ соответственно до и после удара.

Учитывая, что в данном случае , а , из формулы

получим:

Проектируя соотношение

на оси декартовой системы координат Oxyz, получим проекции кинетического момента АТТ до удара на эти оси:

Аналогично для проекций кинетического момента АТТ после удара на оси декартовой системы координат получим:

Подставив все эти значения в уравнения (8.11) и (8.13), имеем:

(8.22)

где – моменты ударного импульса относительно осей декартовой системы координат.

Из первых пяти уравнений (8.22) могут быть найдены пять неизвестных реактивных импульсов , , , , . Из шестого уравнения (8.22) определяется изменение угловой скорости АТТ (w – w₀), вращающегося вокруг неподвижной оси при ударе.