Уравнение колебательного движения МТ

Рассмотрим движение МТ под действием центральной силы, стремящейся возвратить МТ в равновесное положение при ее отклонении от этого положения. Если начальное отклонение МТ и ее начальная скорость совпадают по направлению, то МТ под действием такой силы будет совершать прямолинейное движение. Будем считать, что сила, стремящаяся возвратить МТ в равновесное положение, пропорциональна ее отклонению от центра (рис.4):

,

где с – коэффициент пропорциональности. Такую силу в дальнейшем будем называть восстанавливающей.

Рис. 4

Пусть к МТ, кроме восстанавливающей силы, приложена сила сопротивления, пропорциональная скорости ее движения (рис.4):

,

где – коэффициент, характеризующий интенсивность сопротивления движению МТ.

На основании второго закона динамики можно записать уравнение движения МТ:

.

Проектируя это уравнение на направление начального отклонения и начальной скорости и приняв это направление за ось х (рис. 4), получим:

.

Если к МТ, кроме указанных выше, будет приложена еще и возмущающая сила, изменяющаяся с течением времени по гармоническому закону и направленная по оси х (рис. 4):

F = H sinpt,

где Н и р - соответственно амплитуда (наибольшее значение) и круговая частота возмущающей силы, то уравнение колебательного движения примет вид:

.

Приводя это уравнение к каноническому виду, получим:

.

Введем следующие обозначения:

.

Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид:

. (1.14)

Это линейное, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Как известно из теории линейных дифференциальных уравнений, решение этого уравнения состоит из двух частей:

х = х₁+х₂, (1.15)

где х₁ – общее решение однородного уравнения

, (1.16)

х₂ – частное решение неоднородного уравнения

. (1.17)

Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение:

,

где k – характеристическое число.

Решения характеристического уравнения имеют вид:

.

Возможны три типа корней характеристического уравнения:

· n<w (случай малого сопротивления), тогда

– комплексные числа ( , ), решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:

, (1.18)

где а и a – постоянные интегрирования.

· n>w (случай большого сопротивления), тогда

– действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:

, (1.19)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

· n=w, тогда

– кратные действительные отрицательные числа, решение однородного уравнения (1.16) имеет вид:

, (1.20)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Частное решение ищем с учетом вида правой части:

,

где b и b – постоянные интегрирования, которые нужно подобрать так, чтобы неоднородное уравнение (1.17) обратилось в тождество.

Подставляя значения х₂, в неоднородное уравнение, получим:

.

Отсюда, с учетом формул для синуса и косинуса суммы двух углов, имеем:

Приравнивая коэффициенты при sinpt и cospt в правой и левой частях этого уравнения, получим систему двух уравнений относительно sinb и cosb:

Решая систему, найдем:

,

.

Возведя в квадрат первое и второе выражения и сложив их, получим:

, (1.21)

а поделив первое на второе:

или

. (1.22)

Общее решение, например, в случае малого сопротивления среды может быть представлено в виде:

, (1.23)

где а и a - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями движения, а значения b и b только что были определены и от начальных условий не зависят. Для определения постоянных интегрирования (а, a) полное решение (1.23) необходимо удовлетворить начальным условиям.

Таким образом, колебания МТ являются результатом наложения (суперпозиции) собственных (первое слагаемое в правой части соотношения (1.23)) и вынужденных (второе слагаемое в правой части соотношения (1.23)) колебаний.

Наличие множителя e^-nt обусловливает быстрое затухание собственных колебаний. Поэтому при расчетах в основном приходится считаться с вынужденными колебаниями, которые являются гармоническими с амплитудой b, угловой частотой p, равной частоте возмущающей силы, и начальной фазой b.

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний и начальной фазы от частоты возмущающей силы и сопротивления среды. Разделив в формулах для амплитуды b (1.21) и начальной фазы b (1.22) вынужденных колебаний числитель и знаменатель на w², перепишем их в следующем виде:

,

,

где – величина статического отклонения МТ под действием силы Н, равной максимальному значению вынуждающей силы F;

– отношение круговых вынужденных и собственных частот колебаний МТ (коэффициент расстройки);

– величина, характеризующая сопротивление среды (коэффициент затухания).

Исследуем то, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от изменения безразмерных параметров z и γ.

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе амплитуды:

.

При f(z, γ) = 1 и b = δ независимо от значения γ.

Рис. 5

Для исследования функции f(z, γ) найдем производную по параметру z:

.

Пусть сопротивление движению МТ невелико и . Тогда при возрастании z от 0 для малых z будет , следовательно, знаменатель амплитуды вынужденных колебаний убывает, а амплитуда b растет. Приравнивая производную нулю, находим значения параметра z, при которых функция f(z, γ) имеет экстремум:

,

так как параметр z не может быть меньше нуля, то исключается значение . Результаты исследования на максимум амплитуды вынужденных колебаний b в зависимости от z при различных значениях g отражены на рис. 5.

В случае периодической возмущающей силы, которая в различных областях техники встречается весьма часто, можно разложить функцию , период которой известен, в ряд Фурье и решить линейное, неоднородное дифференциальное уравнение движения второго порядка аналогично тому, как это было сделано в этом параграфе для гармонической возмущающей силы.

Рассмотрим частные случаи.