Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки в системе К’ со скоростью u. Определим скорость этой точки в системе К если система К’ движется со скоростью v. Запишем проекции вектора скорости точки относительно систем К и К’:

K: u_x=dx/dt, u_y=dy/dt, u_z=dz/dt; K’: u_x’=dx’/dt’, u_y’ =dy’/dt’, u’_z=dz’/dt’.

Теперь нам нужно найти значения дифференциалов dx, dy, dz и dt. Продифференцировав преобразования Лоренца, получим:

, , , .

Теперь мы сможем найти проекции скорости:

, ,
.

Из этих уравнений видно, что формулы, связывающие скорости тела в разных системах отсчета (эаконы сложения скоростей) существенно отличаются от законов классической механики. При скоростях малых по сравнению со скоростью света, эти уравнения переходят в классические уравнения сложения скоростей.

6. 5. Основной закон динамики релятивистской частицы. @

Масса релятивистских частиц, т.е. частиц, движущихся со скоростями v ~ с не постоянна, а зависит от их скорости: . Здесь m₀ – это масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той системе отсчета, относительно которой частица покоится. Эта зависимость подтверждена экспери­ментально. На основании ее рассчитывают все современные ускорители заряженных частиц (циклотрон, синхрофазотрон, бетатрон и т.д.).

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру­гой, следует условие инвариантности физических законов относительно преобразо­ваний Лоренца. Основной закон динамики Ньютона F=dP/dt=d(mv)/dt оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса .

Основной закон релятивистской динамики имеет вид: ,

и формулируется следующим образом: скорость изменения релятивистского импульса частицы, движущейся со скоростью близкой к скорости света, равна дей­ствующей на нее силе. При скоростях, намного меньших скорости света, полученное нами уравнение переходит в основной закон динамики классической механики. Основной закон релятивистской динамики инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, но можно показать, что ни ускорение, ни сила, ни импульс сами по себе ин­вариантными величинами не являются. В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Кроме всех перечисленных особенностей, основной и важнейший вывод специальной теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму суще­ствования материи.

6. 6. Взаимосвязь массы и энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской механике. @

Исследуя следствия основного закона релятивистской динамики, Эйнштейн пришел к выводу о том, что полная энергия двигающейся частицы равна . Из этого уравнения следует, что даже неподвижная частица (когда b=0) обладает энергией Е₀ = m₀с², эту энергию называют энергией покоя (или собственной энер­гией).

Итак, универсальная зависимость полной энергии частицы от ее массы: Е = mс² . Это фундаментальный закон природы – закон взаимосвязи массы и энергии. Со­гласно этому закону масса, находящаяся в покое, обладает огромным запасом энер­гии и любое изменение массы Δm сопровождается изменением полной энергии час­тицы ΔE=c²Δm.

Например, 1кг речного песка должен содержать 1×(3,0∙10⁸м/c)² =9∙10¹⁶Дж энергии. Это вдвое больше еженедельного потребления энергии в США. Однако большая часть этой
энергии недоступна, так как закон сохранения материи требует, чтобы общее число барионов (так называются элементарные частицы – нейтроны и протоны) в любой замкнутой системе оставалось постоянным. Отсюда следует, что суммарная масса барионов не меняется и, соответственно, она не может быть преобразована в энергию.

Но внутри атомных ядер нейтроны и протоны кроме энергии покоя обладают большой энергией взаи­модействия друг с другом. В ряде та­ких процессов как синтез и деление ядер, часть этой потенциальной энергии взаимодействия может превращаться в добавочную кинетическую энергию, получаемых в реакциях, частиц. Это превращение и служит источником энергии ядерных реакторов и атомных бомб.

Правильность соотношения Эйнштейна можно доказать на примере распада свободного нейтрона на протон, электрон и нейтрино (с нулевой массой покоя): n → p + e^- + ν. При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,25∙10^-13 Дж. Масса покоя нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на 13,9∙10^-31 кг. Этому уменьшению массы должна соответствовать энергия ΔE=c²Δm=(13,9∙10^-31)(3,0∙10⁸)² =1,25∙10^-15Дж. Она совпадает с наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада.

В релятивистской механике не соблюдается закон сохранения массы покоя, но выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.