СВОЙСТВА МЕРЫ НЕЧЕТКОСТИ

Мера нечеткости была предложена как функция для решения общей задачи

H: P ® [0, ¥] ,

где H - шенноновская энтропия,

P – множество всех распределений вероятностей, которые могут быть определены на конечных множествах альтернативных (взаимно-исключающих) выходах:

P = 0 для детерминированного случая;

иначе P ® ¥; подобно множеству точек отрезка [0,1], любая из которых может быть принята за разделительную для выделения отрезка P_i.

P₁ P₂ P_i P_n

[0;1]

Сравнение по нечеткости множеств альтернатив разбиения универсума [0,1] на части целого {[P_i]} определяется в общем виде функцией H:

.

Это единственная известная функция, удовлетворяющая системе из пяти аксиом:

К(a) = (a₁;a₂;a₃;a₄;a₅)^H,

где

a₁^H - симметричность: нечеткость инвариантна отно­сительно перестановки вероятностей;

a₂^H - расширяемость: нечеткость не меняется при до­бавлении к рассматриваемому множеству выходов с нулевой веро­ятностью;

a₃^H - квазиаддитивность: нечеткость совместного рас­пределения вероятностей не более суммы нечеткостей соответст­вующих безусловных распределений его компонентов;

a₄^H - аддитивность: для распределения вероятностей любых 2-х независимых множеств выходов нечеткость совмест­ного распределения вероятностей равна сумме нечеткостей от­дельных распределений вероятностей;

a₅^H - непрерывность: нечеткость это непрерывная функция на всех своих аргументах.

Функция f(х) определяет нечеткость (в частности, веро­ятность) для конечного множества альтернатив х Î X.

Коэффициенты "a" и "b" в H являются конституэнтами: значение "а" используется на практике в качестве нормирую­щего коэффициента , значение "b" (основание логарифма) опреде­ляет единицу измерения при передаче информации (бит... дит...).

Нормализующее свойство меры нечеткости иллюстри­руется нечеткостью 2-х равновероятных исходов, когда H = 1.

Чтобы нормализовать для произвольного множества исходов при наихудшем равновероятном случае альтернатив значение H нормируют по величине

| ld | X | | , где | X | - мощность (число) альтернатив;

Значения нормы сведены в таблицу.

Упражнения

1. Система имеет два взаимоисключающих выхода на множестве альтернатив {0;1}. Определить норму.

2. Повторить для X = {3,4,5}.

3. Определить энтропию и нормализовать ее для следующих механизмов случайного выбора (МСВ).

а.

б.

в.

4. В приложении 5 приведены вероятности появления букв в русском языке, а также один из возможных вариантов МСВ для имитационного моделирования процесса появления букв. “Переведите” на русский язык фрагмент таблицы случайных чисел (см. П.4), предварительно группируя числа в виде четырехзначных последовательностей.

5. Определите нечеткость преобразования последовательности символов “Основы теории систем “, используя данные приложения 6.

6. В приложении 6 приведена топология пишущей машинки с разметкой по частоте отдельных символов (см.П5).

а. Определите систему двухбуквенных сочетаний, используя отношение соседства на клавиатуре.

б. Оцените соответствие найденных соседств фонетическому строю русских слов. Приведите конкретные примеры в подтверждение типовых буквосочетаний и оцените удобство их печатания в данной топологии расположения символов: при печатании одним пальцем и при многопальцевой системе.

7. В приложении 7 приведена топология клавиатуры персо­нального компьютера (ПК). Определите системы соответствий между топологиями пишущей машинки и ПК. Какое лингвистическое и программно-математическое обеспечение потребуется для решения подобной задачи?

5. ДИНАМИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ У₇

Время и пространство неразрывны, как единая форма бы­тия.

Время - это форма последовательности смены явлений и состояний материи, оно характеризует длительности их бытия. Время - это измерение длительности процессов. Своеобразная то­пологическая мера со свойством однонаправленности. С поняти­ем времени связаны понятия прошлое, настоящее, будущее, свя­зана динамика процессов гибели и восстановления, адаптации, эволюции и т.д.

По свойствам время и пространство имеют общие черты: неотделимость от материи, неразрывность от движения, количест­венная и качественная бесконечность.

Универсальные свойства времени: длительность, неповторяемость, необратимость.

Системы измерения времени базируются на системах отсче­та: суточное, годовое, звездное, солнечное, местное, всемирное (по Гринвичу), поясное (декретное), эфемеридное.

Эфемеридное время - равномерно текущее время: эфемеридная секунда равна (31.556.925,9747)^-1 доля тропического года по данным за 1900 год, январь 0, в 12 часов.

В науке на теоретико-множественном уровне абстрагирова­ния время определяется как однонаправленное множество T с элементами tÎT, с дискретно-задаваемым или непрерывным от­счетом по шкале чисел N. Точки начала и конца отсчета времени определяются наблюдателем.

Системы, описание которых базируется на множестве Т, определяются как динамические системы, в отличие от статиче­ских, т.е. не меняющих свои состояния в зависимости от времени.