Интерпретация концептуальной модели в математическое описание динамического элемента с запаздыванием

Математическое описание линейного динамического элемента с запаздыванием задается в общем случае линейным дифференциальным уравнением n-го порядка :

, (44)

Объект представляет собой систему, подвергающуюся воздействию внешних факторов и вырабатывающую на них соответствующие отклики, причем запаздывание может быть учтено разбиением его на две части (рис. 5).

Рис. 5. Моделируемый объект с запаздыванием

При этом: ИЭЗ — идеальный элемент запаздывания, РЧЭ — реальная часть элемента,

. (45)

Уравнение функционирования идеальной части имеет вид:

y(t) = x(t–). (46)

Реальная часть элемента характеризуется коэффициентом затухания k, который представляет собой постоянное возмущение, действующее на динамический элемент.

Вообще говоря, любой элемент определенной структуры осуществляет преобразование входного сигнала в выходной, т.е. является оператором преобразования и имеет передаточную функцию. Передаточная функция представляет некоторый линейный оператор, который преобразует внешнюю нагрузку на входе в нормальную реакцию на выходе.

Передаточная функция представляется отношением:

, (47)

где Y(p) и X(p) — соответственно изображения функций y(t) и x(t) ( преобразование Лапласа ).

Для идеального запаздывания передаточная функция равна:

. (48)

Таким образом, запаздывание в динамическом элементе моделируется в пространстве изображений, а не оригиналов.

Дифференциальное уравнение первого (28) и второго (29) порядков, описывающие поведение динамического элемента без запаздывания, с учетом запаздывания примут вид уравнений (30) и (31) соответственно.

, (49)

, (50)

, (51)

. (52)

В уравнениях (30) и (31) t .