Свойства математического ожидания

4.Константа-множитель выносится из-под знака математического ожидания.

5. Математическое ожидание от алгебраической суммы любых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

а) для дискретных

б) для непрерывных

Следствие:

6. Если случайные величины ξ и η – независимы, то мат. ожидание от произведения случайных величин равно произведению их мат. ожиданий.

а) для дискретных

б) для непрерывных

7. Неравенство Йенсена

Если функция выпукла вниз, то для любой случайной величины ξ

Доказательство:

Предположим, что функция g(x) дважды дифференцируема по формуле Тейлора:

Вторая производная выпуклых вниз функций всегда положительная:

Пусть

8. Неравенство Ляпунова

Для любых положительных α,β; 0<α<β

Доказательство:

, т.к. , то функция выпукла вниз, значит применимо неравенство Йенсена

9. Неравенство Коши-Буняковского

Для любых двух случайных величин ξ и η

10. Неравенство Гёльдера

p>1,q>1

тогда

11. Неравенство Минковского

Если , р>1

Задача: По мишени делают 3 выстрела. Результаты этих выстрелов не зависят друг от друга. Вероятность попадания при первом , при втором , при третьем .

Рассматривается случайная величина, характеризующая число попаданий в мишень. Найти её мат. ожидание.

1.

попадание при 1,2,3 выстреле соответственно.

а)

б)

в)

г)

2. - число попаданий при первом выстреле

- число попаданий при втором выстреле

- число попаданий при третьем выстреле