Полное предотвращение промерзания грунта при использовании теплоизоляционных покрытий

Рассмотрим случай, когда теплоизоляционное покрытие обес­печивает полное предотвращение промерзания грунта.

Для определения толщины теплоизоляционного покрытия (d) и его свойств, необходимых для полного предотвращения промерзания грунта, рассмотрим модель, изображенную на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Тепловая модель «промерзший грунт — талый фунт»

Дифференциальные уравнения теплопроводности при устано­вившемся режиме для теплоизоляционного покрытия и непромерз­шего грунта соответственно имеют вид

(2.41)

Граничные условия задачи запишем в виде

(2.42)

Общие решения дифференциальных уравнений (2.41) будем искать в виде:

(2.43)

(2.44)

Подставляя решения (2.43) и (2.44) в граничные условия (2.42), получим систему уравнений для определения постоянных коэффициентов А₁, A₂, В₁ и В₃.

(2.45)

Из решения системы (2.45) получим

откуда

(2.46)

Решая совместно систему (2.46), получим

откуда

(2.47)

Подставляя значения A₁ и В₁ из (2.45) и (2.47) в (2.43) получим уравнение для оценки поля температур в теплоизоляцион­ном покрытии

(2.48)

Если толщина и свойства теплоизоляционного покрытия обес­печивают полное предотвращение промерзания грунта, то согласно (2.48) при х = d получим

откуда условие полного предотвращения промерзания грунта примет вид:

(2.49)

Обозначив

из (2.49) получим условие полного предотвращения промерзания грунта в безразмерном виде:

или (2.50)

Условие (2.50) справедливо для случая, когда теплоизоляци­онное покрытие не водонасыщено.

Условие (2.50) получено для случая, когда на поверхности грунта теплообмен задан граничными условиями первого рода. Если на поверхности грунта заданы граничные условия третьего рода, система граничных условий задачи о полном предотвращении про­мерзания грунта будет иметь вид:

(2.51)

где α — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К);

Т_п — температура поверхности теплоизоляционного покры­тия, К.

Решение дифференциальных уравнений (2.41) приграничных условиях (2.51) аналогично предыдущей задаче будем искать в виде (2.43) и (2.44)

,

.

Подставив решения (2.43) и (2.44) в граничные условия (2.51), получим систему уравнений для определения постоянных коэффициентов А₁, A₂, В₁ и В₃.

откуда

(2.52)

Решая систему (2.52) относительно А₁ , получим

или, обозначив относительные коэффициенты теплоотдачи и , получим

(2.53)

Подставляя значения В₁ из (2.52) и А₁ из (2.53) в общее решение

,

,

получим уравнение для оценки поля температур в теплоизоляционном покрытии при граничных условиях третьего ро­да

(2.54)

При х = d из (2.54) получим

(2.55)

откуда

(2.56)

При х = 0 общее решение (2.43) примет вид:

(2.57)

Согласно (2.53) и (2.57) имеем

откуда

(2.58)

Приравнивая правые части выражений (2.56) и (2.58), пол­учим

или, поделив почленно на Н₀, будем иметь условие полного предот­вращения промерзания грунта при граничных условиях третьего ро­да

(2.59)

Обозначив , получим из (2.59) условие полного предотвращения промерзания грунта в безразмерном виде

(2.60)

где

.