Расчет глубины промерзания связанных пород

Рассмотрим случай промерзания связной породы при открытой разработке месторождений.

Сформулируем задачу: на поверхности полупространства в момент времени t=0 устанавливается отрицательная температура Т_в, равная температуре внешней окружающей среды. В процессе промерзания связной породы образуется промерзший слой переменной толщины h = f(t). Нижняя граница этого слоя всегда имеет температуру замерзания влаги Т^*. На этой границе происходит фазовый переход «вода-лед», при котором выделяется теплота перехода L_ф, Дж/кг. На глубине залегания нейтрального слоя Н₀ температура всегда постоянна и равна примерно 277 К (4°С). Обозначим эту температуру через Т₀. Кроме этого, условимся обозначать в данной и последующих задачах этой темы параметры теплоизоляционного покрытия индексом 1, промерзшей связной породы — индексом 2 и талой — индексом 3.

Для описания распределения температурного поля в системе «промерзшая связная порода - талая порода» воспользуемся моделью, изображенной на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Тепловая модель «промерзший грунт — талый грунт»

Математически задачу можно сформулировать следующим об­разом: решить дифференциальные уравнения теплопроводности

при 0<х<h (2.5)

при h <х<∞ (2.6)

при следующем начальном условии

Т₂│_t=0 = Т_В =соnst (2.7₁)

Т₃│_t=0 = Т₀ (2.7₂)

и граничных условиях

Т₂│_x=0 = Т_В (2.8)

Т₂│_x=h = Т₃│_x=h =Т*=соnst (2.9)

(2.10)

где а — температуропроводность грунта, м²/с;

λ — его теплопроводность, Вт/ (м·К);

L_ф – теплота фазового перехода «вода-лед», Дж/кг;

W — влажность грунта, кг/кг;

γ_n — его плотность, кг/м .

Общие решения дифференциальных уравнений (2.5) и (2.6) можно представить в виде:

(2.11)

(2.12)

где

Подставляя граничное условие (2.8) в (2.11), получим:

Т₂│_x=0 = A₂+ B₂erf = A₂+ B₂erf0= A₂= Т_В

откуда

A₂= Т_В (2.13)

Подставляя начальное условие (2.7) в уравнение (2.12), пол­учим:

Т₃│_t=0 = A₃+ B₃erf = A₃+ B₃erf∞= A₃+ B₃= Т₀

откуда

A₃= Т₀ - B₃. (2.14)

С учетом (2.13) и (2.14) общие решения (2.11) и (2.12) примут вид:

Т₂= Т_В + B₂erf , (2.15)

Т₃=Т₀-В₂+B₃erf = Т₀ - B₃ = Т₀-B₃erfc , (2.16)

где

Согласно (2.9) на глубине промерзания Т₂ = Т₃ = Т^*, поэтому уравнения (2.15) и (2.16) при х = h примут вид

Т₂= Т_В + B₂erf = Т* = const, (2.17)

Т₃ = Т₀ - B₃erfc =Т*= const (2.18)

Так как величины Т_в, Т₀, Т^* , а₁и а₃ есть некоторые постоянные, то уравнения (2.17) и (2.18) будут справедливы в том случае, если будет выполняться условие

(2.19)

или

, (2.20)

где β — коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость углубления зоны промерзания, м/ .

Подставляя (2.20) в (2.17) и (2.18), получим:

Т₂= Т_В + B₂erf = Т_В + B₂erf = Т* (2.21)

Т₃ = Т₀ + B₃erfc = Т₀ + B₃erfc =Т* (2.22)

Из (2.21) и (2.22) соответственно получим

В₂= , (2.23)

В₃= . (2.24)

Подставляя (2.24) в (2.14) получим

Подставляя (2.23), (2.24) и значение А₃ соответственно в (2.15) и (2.16), получим уравнения для оценки поля температур

• в промерзшей зоне

Т₂= Т_В +(Т*- Т_В) (2.25)

• в талой зоне

Т₃= Т₀ -( Т₀-Т*) (2.26)

В уравнениях (2.25) и (2.26) неизвестен параметр β. Его оп­ределим из условия (2.10). Прежде чем перейти к определению β приведем несколько преобразований, которые понадобятся в даль­нейшем:

(2.27)

(2.28)

При x=h граничное условие (2.10) примет вид

(2.29)

Возьмем отдельно производные и , входящие в уравнение (2.29), с учетом значений

Т₂= Т_В +(Т*- Т_В) и Т₃= Т₀ -( Т₀-Т*)

(2.30)

При x=h= выражение (2.30) примет вид:

(2.31)

Аналогично

(2.32)

При x=h= выражение (2.32) примет вид:

(2.33)

Правая часть уравнения (2.29) при x=h= станет равной

(2.34)

Подставляя (2.31), (2.33), (2.34) и (2.29), получим

(2.35)

Умножив обе части выражения на , получим конечное трансцендентное уравнение для определения коэффициента β

(2.36)

Определив β из (2.36) как функцию λ₂, а₂, λ₃, а₃, Т^*, Т_в, Т₀, L_ф, W и γ_n, и принимая во внимание, что h= , можно определить глубину промерзания грунта. Кроме этого, зная β, согласно (2.25) и (2.26) можно определить распределение температурного поля соответственно в промерзшей и талой зонах грунта.

Если влажность грунта незначительна и ею можно пренебречь, то при граничных условиях первого рода решение уравнения теплопроводности для промороженной зоны имеет вид

(2.37)

При х= h из выражения (2.37) имеем

(2.38)

Для глин и суглинков Т^* ≈ -1°С и а₂≈ 0,003÷0,01 м /с.

На основании выражения (2.38) можно определить (прибли­женное) значение глубины промерзания грунта без учета теплоты фазового перехода «вода-лед». Истинное значение глубины промер­зания будет во втолько раз меньше расчетного, во сколько теплота фазового перехода «вода-лед» в единице объема грунта больше теп­лоты охлаждения от температуры Т₀ до Т_в.

Задавшись допустимой глубиной промерзания и используя таб­лицы для определения функции erfc(u), можно по формуле (2.38) рассчитать время промораживания грунта на эту глубину.

Если суточные колебания температуры окружающей среды до­стигают 10°С, то на основании (2.38) можно показать, что

≈ 1. (2.39)

При этом время, по истечении которого наступит установив­шийся режим, будет примерно равно 1 ч.

В случае, когда суточные колебания температуры составляют 3-5°С,

≈ 0,1. (2.40)

Время наступления установившегося режима при этом будет равно примерно 10 ч.

Эти сравнения сделаны с тем расчетом, чтобы показать, что для решения задач по определению глубины и времени промораживания грунта функцию Т(у) можно считать постоянной величиной, равной минимальной отрицательной температуре на данные сутки.