Тепловой расчет формирования одиночного ледопородного цилиндра

При замораживании вокруг каждой замораживающей колонки формируется температурное поле, изотермы которого представляют собой в плане концентрические окружности. Температура породы непосредственно у замораживающей колонки будет на 3-5 К выше температуры хладоносителя. В радиальном направлении от центра каждой замораживающей скважины темпратура грунта повышается. На внешней поверхности каждого ледопородного цилиндра темпера­тура равна температуре фазового перехода, а далее повышается вплоть до естественной температуры массива. С течением времени замораживания радиус каждого ледопородного ограждения увеличи­вается, но не беспредельно. При некотором критическом радиусе количество холода, поступающего в массив, окружающий ледопородный цилиндр, будет скомпенсировано теплом геотермического теплового потока, направленного к замораживающей скважине. Из этого следует, что для образования ледопородных ограждений рас­стояние между смежными замораживающими скважинами должно быть значительно меньше удвоенного критического радиуса ледопо­родного ограждения. Только при этом условии возможно смыкание отдельных ледопородных цилиндров и образование единого ледопо­родного ограждения.

Породы в объеме ледопородного цилиндра или ледопородного ограждения являются мерзлыми, далее в радиальном направлении следует зона охлажденных пород и затем зона пород с нормальной для данного района температурой.

Как и ранее, условимся обозначить индексом 2 параметры, относящиеся к мерзлым породам, а индексом 3 — к талым породам. Температуру фазового перехода обозначим через Т*, на­чальную естественную температуру массива — через Т₀, а темпера­туру рассола в замораживающей колонке — через Т_р.

В процессе формирования одиночного ледопородного цилиндра холод, поступающий от замораживающей колонки, расходуется на охлаждение массива в объеме замерзшей породы от температуры Т₀ до температуры Т* и далее до температуры Т_р; на теплоту фазового перехода; на понижение температуры массива в зоне охлажденных пород от температуры Т₀ до температуры Т*.

Для оценки времени формирования одиночного ледопородного цилиндра предположим, что замораживающая скважина является обособленной, вода в породе не фильтрует и теплопоток, обусловлен­ный геотермическим градиентом, отсутствует.

В математической постановке задача может быть сформулиро­вана следующим образом: в бесконечном пространстве с температу­рой Т₀ и свойствами талого грунта имеется цилиндрическая полость, равная радиусу замораживающей колонки r_к; в момент времени τ= 0 на поверхности полости устанавливается температура, равная тем­пературе Т_р; в результате охлаждения массива вокруг цилиндриче­ской полости образуется ледопородный цилиндр переменного радиу­са r_ц = f (τ); подвижная граница ледопородного цилиндра имеет тем­пературу фазового перехода Т* ; на этой границе выделяется теплота фазового перехода L_ф, Дж/кг.

При формировании одиночного ледопородного цилиндра имеет место теплоперенос, обусловленный движением тепла к заморажи­вающей колонке в радиальном направлении. Одновременно за счет термодиффузии имеет место массоперенос влаги в том же направле­нии от мест с более высокой температурой в места более холодные.

Процесс тепло- и массопереноса вокруг замораживающей ко­лонки описывается системой дифференциальных уравнений:

при r_к <r<r_ц (3.1)

при r_ц <r<∞ (3.2)

при r_ц <r<∞ (3.3)

Для определения вокруг замораживающей колонки поля темпе­ратур и поля влагосодержания необходимо решить дифференциаль­ные уравнения (3.1)-(3.3) при следующих начальных и граничных условиях:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

где а — коэффициент температуропроводности породы, м/с; а_m — коэффициент абсолютной термодиффузии влаги, м /с; λ — коэффициент теплопроводности породы, Дж/(м∙с∙К); δ_T— относительный коэффициент термодиффузии влаги, 1/К; U — влагосодержание породы, кг/кг; γ — плотность породы, кг/ м.

Решения дифференциальных уравнение (3.1)-(3.3) при кра­евых условиях (3.4)-(3.10) имеют вид:

• для оценки температурного поля в мерзлой зоне

(3.11)

• для оценки температурного поля в талой зоне

(3.12)

• для оценки поля влагосодержания в талой зоне

• для оценки влагосодержания на границе фазового перехода при r = r_ц

(3.14)

где U₀ — начальное влагосодержание породы, кг/кг; m = ; L_u — критерий Лыкова, .

Фронт продвижения границы фазового перехода г_ц определяют численным методом из уравнения

(3.15)

Для определения характера распределения температурного по­ля в мерзлой и талой зонах и поля влагосодержания необходимо из уравнения (3.15) определить значение r_ц при заданном τ, а затем по формулам (3.11)-(3.14) определить искомые величины. Чтобы оп­ределить время образования одиночного ледопородного цилиндра ра­диусом r_ц необходимо в уравнении (3.15) вместо r_ц подставить его численное значение.