Фдз 4. Отображение множеств. Образ, прообраз. Линейный оператор и его матрица.

1. Дано отображение (где , ) по следующему закону:

. Найти образы множеств и прообразы для элементов . Является ли заданное отображение однозначным, взаимно-однозначным, имеет ли оно обратное отображение?

2. Дать определения оператора, линейного оператора.

3. Дано отображение , действующее на множестве по правилу

. Показать, что это отображение является оператором, но не является линейным оператором.

4. Доказать, что отображение , где , действующее по правилу , где , является линейным оператором.

Найти образ вектора и образ всего пространства . Исходя из образа пространства , ответить на вопросы: является ли заданное отображение однозначным, взаимно-однозначным, имеет ли оно обратное отображение?

5. Доказать линейность оператора , если в базисе действие этого оператора производится по правилу , где , .

Найти матрицу этого оператора в базисе и в базисе , где . .

6. , , . Доказать линейность оператора . Найти его матрицу в каноническом базисе и в базисе .

7. Линейный оператор является:

а) оператором отражения векторов от плоскости ;

б) оператором проектирования на ось ;

в) поворотом векторов на вокруг оси .

Исходя из геометрических свойств указанных операторов, найти их матрицы в подходящих базисах и затем в базисе .

__________________________________________________________________________