Домашнее задание.

1. Доказать линейность оператора , если в базисе действие этого оператора производится по формулам где . Найти матрицу этого оператора в базисе и в базисе .

2. Доказать, что отображение , является оператором, но не является линейным оператором.

3. Доказать, что оператор , , является линейным и найти матрицу этого оператора в стандартном базисе и базисе .

Выполнить следующие пункты из «своих» задач Типового расчета:

Задача 5. 1),2)

Задача 6. 1),2).

Фдз 5. Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.

1. Даны два линейных оператора , действующие в одном и том же линейном пространстве . Дать определения для операторов:

.

2. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве по следующим правилам: , где ;

, где . Найти матрицы операторов в базисе .

3. Дать определение ядра, ранга и дефекта линейного оператора.

4. Исходя из определений и геометрических свойств оператора , найти его ядро и образ в следующих случаях, указать также ранг и дефект.

4.1. - оператор проектирования векторов на плоскости ;

4.2. - оператор проектирования на ось ;

4.3. - оператор поворота векторов на вокруг оси .

5. Найти ядро, образ, ранг и дефект следующих линейных операторов.

5.1. , .

5.2. , , .

5.3. , , .

6. Дать определение обратного оператора данному линейному оператору .

7. Указать, в каких случаях из приведенных выше примеров 4,5,6 оператор является невырожденным и допускает обратный оператор . Найти матрицы этих обратных операторов.

__________________________________________________________________________

Домашнее задание.