Ефективна маса електронів. Поняття про дірки

Для описання поводження електрона в кристалі необхідно знати форму дисперсійних поверхонь. Але досконала їх форма не завжди відома та виявляється не завжди і потрібна. Достатньо сформульованих вище трьох загальних властивостей. Вияснимо, як впливають ці властивості на поводження електрона в кристалі?

Для вільного електрона дисперсійна крива описується рівнянням (4.1). Візьмемо з цього рівняння похідну по хвильовому числу k і знайдемо його

. (4.2)

Тоді імпульс електрона , а його швидкість

. (4.3)

Нехай на електрон з боку електричного чи магнітного поля діє деяка сила. Знайдемо прискорення, взявши з виразу (4.3) похідну за часом

. (4.4)

З другого боку по другому закону Ньютона імпульс сили дорівнює зміні імпульсу Fdt = dp, або, враховуючи, що р = ћ×k, одержуємо

. (4.5)

Підставимо (4.5) в (4.4) ,

де ефективна маса . (4.6)

Ефективна маса враховує вплив силового поля кристалу на рух у ньому електронів і визначається другою похідною із дисперсійної кривої по хвильовому числу k. Проаналізуємо залежність (4.6) в особливих точках дисперсійних кривих. Видно, що знак і величина m_еф визначається другою похідною.

а) Поблизу дна зони дозволених значень енергій дисперсійна крива має мінімум. Як відомо, у цьому випадку друга похідна із функції позитивна. Отже і m_еф > 0.

б) Біля стелі зони дисперсійна крива має максимум, і друга похідна функції негативна. Отже і m_еф < 0 ! Це означає, що прискорення електрона в кристалі протилежне тому, яке мав би вільний електрон. Наприклад, в електричному полі вільний електрон рухається проти напруженості, а в кристалі у випадку m_еф < 0 по полю. Причиною цього є досить велике внутрішнє поле кристалу, яке переважає прикладене зовнішнє поле. Тому для спостерігача здається, що електрон веде себе як позитивна частинка з позитивною ефективною масою. Таку частинку назвали діркою. У зв’язку з цим були введені поняття ефективної маси електронів m_n і дірок m_p.

в) В точці перегину, тобто поблизу середини зони дозволених значень енергії, друга похідна дорівнює нулю, а ефективна маса прямує до нескінченності. Це випадок, коли сила зв’язку електрона настільки велика, що зовнішнє поле не може привести електрон у прискорений рух.

г) Ефективна маса як електронів, так і дірок може бути більшою, або меншою від маси спокою вільного електрона m. Наприклад, для германію m_n=0,56m, m_p=0,59m; для кремнію m_n=1,08m, m_p=0,37m. Це зумовлено впливом внутрішнього поля кристала. У випадку коли воно допомагає дії зовнішньої сили ефективна маса менша від маси спокою вільного електрона, а коли протидіє – більша.

4.4 Заповнення зон електронами. Провідники, діелектрики,