РОЗДІЛ 2

ГЕОМЕТРІЯ ЗЕМНОГО ЕЛІПСОЇДА

2.1. Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними.

Поверхня еліпсоїда утворюється від обертання еліпса навколо його малої (полярної) осі.

Рис. 2.1

Будь-який еліпс визначається розмірами його великої а і малої b півосей (рис 2.1). За розмірами півосей можна знайти положення фокусів F₁ і F₂ еліпса

Відносна величина, що визначається із співвідношення

(2.1)

називається першим ексцентриситетом еліпса.

Мають застосування і інші відносні величини:

другий ексцентриситет

, (2.2)

полярне сплющення (стиснення)

. (2.3)

Розміри еліпса визначаються розмірами його великої півосі а. Форма еліпса визначається однією із приведених вище відносних величин, найчастіше це сплющення.

Крім великої та малої півосей еліпса, часто застосовується ще одна лінійна величина, що визначається із співвідношення

(2.4)

Приведені лінійні та відносні величини еліпса називаються параметрами еліпса і відносяться також і до еліпсоїда обертання. Параметри а – велика (екваторіальна) піввісь еліпсоїда і b- мала (полярна) піввісь еліпсоїда або a і a називають основними параметрами, що визначають еліпсоїд обертання, а квадрати першого та другого ексцентриситетів е² та - похідними.

Між перерахованими величинами існують залежності. Так із (2.1) та (2.2) отримаємо:

,

,

, (2.5)

.

Враховуючи вище наведені залежності для полярного сплющення a та першого ексцентриситета е отримаємо наступні формули зв'язку

(2.6)

Для виводу числових значень параметрів земного еліпсоїда, переважно великої півосі та сплющення, використовуються відповідні геодезичні, астрономічні, гравіметричні і супутникові виміри.

Для наближених розрахунків можна використовувати наступні значення:

a=6378 км,

а-b=21 км,

е²» 2a » .

Відомо багато еліпсоїдів, параметри яких визначались в різних регіонах Землі і названі на честь видатних вчених, керівників робіт, що їх визначали:

Таблиця 2.1

Для еліпсоїда Красовського, що застосовується в геодезичних роботах в Україні, крім основних параметрів (див. табл. 2.1), згідно приведених вище формул зв'язку, маємо

b = 6356863.01877;

e² = 0.006693421623;

На даний час, згідно резолюції XVII Генеральної Асамблеї Міжнародної геодезичної та геофізичної спілки (Канбера, 1979), офіційною референцною системою Міжнародної асоціації геодезії є Геодезична Референцна Система 1980 року -GRS80. Ця система визначає основні параметри загального земного (глобального) еліпсоїда. Серед них

a =6378137 м,

a = ,

e² = 0.006694380023;

Відзначимо, що прийняття загального земного чи референц-еліпсоїда, тобто його розмірів, є одним з основних чинників, що характеризує певну систему геодезичних координат.