Математичні та фізичні моделі Землі.

Встановлення геометричної фігури Землі, в принциповому плані, здавалось би не становить значної проблеми. Для цього достатньо за даними вимірювань визначиш в певній системі координати точок земної поверхні та побудувати відповідну геометричну поверхню. Кординати точок повинні бути певним чином, зв'язані з заданою системою ліній, які належать ординатній системі.

Класично, координати точок отримують із астрономо-геодезичних вимірювань. Як відомо, при цих вимірюваннях вісь геодезичнаго (чи астрономічного) приладу орієнтують відносно прямовисної лінії. Але поскільки величина і напрям сили ваги в кожній точі пов'язані з обертанням Землі навколо своєї осі та розподоіом мас в тілі Землі, що має досить складний характер, встановлення форми Землі стає неможливим без вивчення поля земного тяжіння, тобто гравітаційного поля Землі.

Проблема вивчення фігури Землі відноситься до числа найдавніших наукових проблем, поставлених людством ще на ранній ступіні свого культурного розвитку. На протязі багатовікової історії вона була і до цих пір залишається однією із найважливіших наукових проблем природознавства і перш за все астрономії та геодезії. Вивчення виду та розмірів Землі, а також її положення і руху в світовому просторі в значному плані сприяли науковому світопізнанню.

Початком вивчення фігури Землі щодо її виду та розмірів було наукове обгрунтування погляду про її кулеподібність. Імена Піфагора, Арістотеля, Архімеда, Ератосфена та інших учених і філософів стародавньої Греції і Єтипта навічно залишились в пам'яті людства, як першопрохідців вчення про фігуру Землі. Вже перші практичні визначення розмірів Землі базувалися на принципіально правильному геометричному методі, розробленому стародавніми математиками та астрономами, що полягав у вимірюванні деякої дуги меридіана та визначенні відповідного їй кута в центрі земної кулі, тобто різниці широт кінцевих точок цієї дуги. За цими вимірюваннями визначалася довжина дуги меридіана в один градус або довжина всього кола земної кулі. Звідси виник принцип вимірювання довжини дуги градуса меридіана або принцип градусного вимірювання, на якому були засновані всі подальші методи дослідження фігури Землі щодо її виду та розмірів.

В перших і подальших визначеннях розмірів Землі найбільш слабким місцем досліджень було вимірювання лінійної довжини дуги меридіана. Тодішня техніка вимірювання дозволяла вимірювати тільки короткі дуги меридіана, що в свою чергу при навіть незначних похибках у визначенні відповідного цій дузі центрального кута викликало значну похибку в довжині градуса меридіана та величині, земного радіуса. З застосуванням методу тріангуляції з'явилась принципова можливість визначати дуги меридіанів та паралелей будь-якої довжини з високю точністю.

Градусні вимірювання Пікара (1670 р.) остаточно закріпили перше правильне і науково обгрунтоване представлення про кулеподібність Землі. В той же час в областях фізики, механіки, астрономії нагромадились нові факти, які вимагали узагальнення. Наукове пояснення цих факпв привело до обгрунтування нового вчення про фігуру Землі.

Теоретично встановив сплюснутість фігури Землі в напрямі її полюсів Ньютон (1687 р.). Він, на основі закону всесвітнього тяжіння, прийшов до висновку, що фігура планети при не дуже швидкому обертанні повинна прийняти форму сфероїда або в простішому вилажу еліпсоїда обертання з незначним стисненням. Величина цього стиснення, за розрахунками Ньютона при умові, що Земля складається із однорідної ідеальної) рідини, склала 1:230. Разом з тим він розглядав і зміну форми фігури планети в залежності від зміни її розмірів, густини маси та швидкості обертання навколо своєї осі. Тим самим ним було вказано, що дослідження фігури Землі щодо її виду та розмірів є не тільки геометричною задачею, але пов'язано із вивченням її генезису, внутрішньої будови і умов обертання навколо своєї осі.

Цілий ряд геодезичних експедицій в різних широтах (1718, 1737, 1742 р.р.), а також теоретичні дослідження французького матеаматика Клеро (1743 р.) практично і теоритично підтвердили обгрутнтованість ідеї про сфероїдальнісіь Землі. Дослідження Клеро підтвердили, що фігура Землі зв'язана з її внутрішньою будовою і фізичним станом й маси. Він вказав на можливість визначення величини стиснення земного сфероїда, якщо задані розміри, швидкісіть обертання і внутрішня будова Землі. Клеро рйзширив доказ Ньютона про те, що фігурою рівноваги однорідної ідеальної рідини, що обертається, буде еліпсоїд обертання малого стиснення.

В своїх дослідженнях Клеро обгрунтував і загальний закон розподілу величин прискорення сили ваги на поверхні земного сфероїда. Він встановив зв'язок між стисненням земного сфероїда та розподілом сили ваги на його поверхні. Відповідні рівняння або теореми Клеро є теоретичною основою виводу стиснення фігури Землі за вимірюванням сили ваги на її поверхні.

На початку XIX ст. в багатьох країнах почали розвиватися астронамо-геодезичні робота з метою складання точних карт. При виконанні цих робіт приймалась до уваги і задача визначення розмірів Землі в новій її постановці.

Необхідно відмітити, що постановка задачі виводу розмірів земного еліпсоїда перш за все вимагала встановлення відповідного поняття або представлення про фігуру Землі, поскільки її фізична поверхня, що складається із поверхні материків та океанів, має значні "неправельності". Зрозуміло, що фізична поверхня Землі в межах материків з їх відносними підвищеннями та пониженнями не є поверхнею еліпсоїда обертання і не може бути виражена яким-небудь математичним рівнянням. Звідси виникла задача встановлення поняття і певного підбору математичної поверхні Землі.

Фазична поверхня Землі складається переважно із поверхні морів та океанів, зв'язаних між собою, що утворюють єдину водну масу - Світовий океан. Поверхня води Світового океану, як рідкої маси, що знаходиться тількіі під дією сили земного притягання та відцентрової сили обертання Землі, є однією із рівневих поверхонь потенціала сили ваги. Вона характеризується тією основною властивістю, що на ній потенціал прискорення сили ваги має повсюди одне і теж постійне значання, тобто в кожній її точці напрям нормалі до неї збігається з напрямом дії сили ваги або з прямовисною лінією. Якщо рівневу поверхню Світового океану продовжити під материками таким чином, щоб вона всюди перетинала напрям прямонисної лінії під прямим кутом, то тоді вийде деяка замкнута поверхня, яка і буде характеризувати математичну фігуру Землі.

Вказану основну властивість будь-якої рівневої поверхні можна виразити математичним рівнянням, представляючи відповідний її потенціал сили ваги функцією від координат її поточної точки та розподілу маси всередині Землі. В такому плані рівнева поверхня, що збігається з поверхнею Світового океану в стані рівноваги і відповідним чином продовжена під материками, є математичною поверхнею. Проте вид, або форма цієї поверхні залежить від розподілу сили ваги на ній або внутрішньої будови Землі.

В 1849 р. була опублікована робота відомого англійського математика Стокса, який вслід за Ньютоном і Клеро зробив значне узагальняння теорії про фігуру Землі. Зокрема, він поставив задачу- знайти рівневу поверхню, що повністю охоплює маси, за відомим силовим полем - і побудував формулу, що дає її розв'язок для випадку Землі малого стиснення, близької до еліпсоїда обертання.

Фізична поверхки Землі має дуже складну форму із-за сукупності різноманітних форм рельєфу і не може в цілому бути представлена точно якою небудь правильною математичною фігурою. В 1873 р. Лістінгом (J. Listing) було запропоновано вважати математичною фігурою Землі тіло, поверхня якого збігається із середнім рівнем води в морях та океанах і є рівневою. Така фігура дістала назву геоїда. В попередньому параграфі вже давалося поняття геоїда, як рівневої поверхні. Стандартизований термін геоїд -це фігура Землі, утворена рівневою поверхнею, що збігаеться з поверхнею Світового океану в стані цілковитого спокою та рівноваги, відповідно продовжена під материками (щоб напрями прямовисних ліній перетанали цю поверхню у всіх її точках під прямим кутом).

В приведеному вище понятті про геоїд є певна невизначеність, зв'язана з невизначеністю поняття про стан цілковитого спокою та рівноваги Світового океану. В дійсності Світовий океан знаходиться в стані безперервного руху, що постійно відхиляє його фізичну поверхню від деякої рівневої поверхні. Проте дані спостережень показуюїь, що різниці середніх рівнів океанів і морів порівняно незначні (1-1.5 м) і при дослідженні фігури Землі щодо форми та розмірів невизначеність середнього рівня Овітового океану не має особливого значення.

Отже, фігура геоїда є свого роду узагальненою або зглаженою фігурою дійсної Землі. Форму фігури геоїда можна визначити за резуяьтатами вимірювання сили ваги. Іншими даними для дослідження фігури геоїда є асірономічні спостереження, що дають напрям дії сили вага або прямовисної лінії в точках спостереження, та геодезичні вимірювання, що визначають взаємне положення цих точок в деякій системі координат. Ці вимірювання, що називаються ще градусними вимірюваннями, а також сучасні методи визначення місцеположення за допомогою супутникових систем дозволяють вирішувати задачу дослідження фігури геоїда.

Вивчення фігури геоїда щодо його виду та розмірів полягає у співставленні його з відомою фігурою порівняння. В цьому плані задачу вивчення фігури геоїда можнарозділити на дві частини, котрі між собою тісно пов'язані і котрі тим не менше допустимо розглядати і розв'язувати окремо. В першу частину цієї задачі входить визначення виду і розмірів тієї фігури порівняння - аналітичної поверхні, яка правильно представляє загальну фігуру Землі в цілому, друга частина її полягає у визначеннізалишкових відступів геоїда від вказаної фігури порівняння. Визначенням аналітичної поверхні за даними супутникових, астрономо-геодезичник і гравіметричних спостережень займається вища геодезія, а визначенням відхилень геоїда від знайденої поверхні - гравіметрія.

Можливість визначення відхилень геоїда від вибраної фігури порівняння починається з теоретичних робіт Стокса. Пізніше цілий ряд вчених розвинули теорію Стокса. Однією з основних передумов дослідження фігури геоїда та визначення елементів, що характеризують її земний еліпсоїд є необхідність проводити градусні вимірювання і вимірювання сили ваги безпосередньо на поверхні геоїда. Поскільки в дійсності ці вимірювання в межах суші проводяться на фізичній поверхні Землі, то звідси випливає задача приведення їх результатів до поверхні геоїда. Цю задачу називають ще редукційною. Детально ці питання розглядаються в курсі фізичної геодезії. Відмітимо лише, що для розв'язування ціеї задачі в строгій постановці необхідно знати розподіл сили ваги або розподіл густин всередині маси Землі (вище поверхні геоїда) тобто аналітичне продовження аномалій сили ваги від фізичної поверхні до поверхні геоїда. В загальному випадку густина мас над геоїдом є апріорі невідомою тому і виникають значні труднощі точного приведення результатів вимірювань до поверхні геоїда, а також труднощі дослідження фігури геоїда за цими вимірюваннями.

Альтернативне поняття фігури Землі у виді фізичної поверхні було введене Брунсом (1878 р.), але тільки Молоденським (1945 р.) розвинута теорія визначення безпосередньо фізичної поверхні Землі. Він показав, що фігура Землі щодо її виду та розмірів мже бути визначена на основі тільки тих даних, які отримують із вимірювань на її фізичній поверхні.

Вивчення фігури фізичнюї поверхні Землі також пов'язано з її узагальненням або згладжуванням шляхом виділення із неї відповідної "неправильної" або топографічної частини. Для цього Молоденський запропонував деяку допоміжну поверхню, дуже близьку до поверхні геоїда і названу ним квазігеоїдом. Визначення фігури квазігеоїда щодо її виду та розмірів за результатами вимірювань на фізичній поверхні Землі також базується на порівнянні її з відомою аналітичною поверхнею - земним еліпсоїдом.

При виводі розмірів земного еліпсоїда практично можна не рахуватися з різницею між геоїдом та квазігеоїдом, поскільки вона (1-2 м) не може мати великого значення при сучасній точності досліджень.

Отже, існують в основному три різні можливі поняття "фігура Землі": а) фізична або дійсна Земля - тверда і рідка частани Земі. Вона є надзвичайно нерегулярною навіть після деякого згладження. Згладжена поверхня піддається математичному опису після деякого усереднення в часі (геодинамічні ефекти); б) геоїд чи квазігеоїд;

в) Нормальна Земля або модель Землі. Найбільш простою матиматичною моделлю є еліпсоїд обертання - двоосний еліпсоїд; його інтенсивно використовують в практиці. В теоретичних дослідженнях застосовують також трьохосний еліпсоїд.

Фізичною моделлю Земш е гідростатична фігура рівноваги. Вона близька до елшпсоїдів, але не точню збігається з ними. Фізична модель Землі базуються на моделі внутрішньої будови і має застосування перш за все в геофізиці, хоча на сучасному етапі розвитку геодезії вона все більше виходить на передній план. На даний час найбільш широко використовуються модеді РRЕМ (Рreliminary Reference Earth Model). В вищій геодезії практично не роблять різниці між фігурою фізичною і поверхнею, що обмежує цю фігуру. Головна умова для Нормальної Землі або фігури порівняння - вона повинна найкращим чином представляти фігуру Землі як в геометричному плані так і в гравітаційному.

Приведемо ще декілька понять, що використовуються у вищій геодезії і, особливо, у сфероїдальній геодезії.

Геоїд за формою близький до сфероїда (тіло обертання близьке до кулі) з малим полярним стисненням і, зокрема, до найпростішого із сфероїдів - еліпсоїда обертання.

Земний сфероїд - це фігура, яку б прийняла Земля як пружно-в'язка планетарна маса, що знаходиться в стані гідростатичної рівноваги і під впливом тільки сил взаємного тяжіння її частинок і відцентрової сили її обертання навколо незмінної осі.

Земний еліпсоїд - це еліпсоїд, що характеризує фігуру та розміри Землі.

Еліпсоїд, що найбільш близько підходить до фігури Землі в цілому і центр якого збігається з центром мас Землі, називається загальним земним еліпсоїдом, а еліпсоїд, що нейбільш близько підходить до поверхні геоїда на певній території (в межах держави, репону чи кошиненту) і центр якого хоч і близько підходить, але не збігається з центром мас Землі називається референц-еліпсоїдом.

Отже, референц-еліпсоїд - це земний еліпсоїд, вісь яиаго паралельнаосізагальноземного еліпсоїда, який найкращим чином характеризує частину земної поверхні, взятий для опрацювання геодезичних вимірів та встановлення системи геодезичних координат.