Дифракційна решітка. Кутова дисперсія і роздільна здатність дифракційної решітки

Дифракційною решіткою називається оптичний прилад, який складається з великої кількості однакових щілин, розділених між собою однакової ширини непрозорими проміжками. Відстань d між серединами двох сусідніх щілин, називається сталою дифракційної решітки.

Якщо розмістити паралельно решітці збиральну лінзу, то в її фокальній площині на екрані можна буде спостерігати результати дифракції світла від решітки (рис.4).

Оптична різниця ходу променів від двох сусідніх щілин дорівнює

(21)

Оптична різниця фаз в цьому випадку буде дорівнювати

(22)

В точку P на екрані приходять промені від усіх щілин. Всі ці промені зсунуті за фазою на однакову величину .

Для знаходження результуючої амплітуди всіх хвиль, які прийшли в точку Р слід скористатися формулою результуючої амплітуди при інтерференції багатьох хвиль

(23)

Рис. 4

З урахуванням (22) результуюча амплітуда буде дорівнювати

(24)

де – амплітуда хвиль від однієї щілини;

– число щілин у решітці;

– стала дифракційної решітки;

– довжина хвилі монохроматичного світла.

Проведемо аналіз формули (24).

а) якщо вираз у знаменнику (24) досягає мінімуму, тобто буде дорівнювати нулю, то амплітуда буде найбільшою. Ця умова є умовою максимуму дифракції на дифракційній решітці, тобто

звідки

. (25)

Формула (25) є умовою головних максимумів дифракції на дифракційній решітці.

б) побічні максимуми дифракції можна одержати, якщо чисельник у формулі (24) досягає максимуму. Це можливо за умови, коли

(26)

Після скорочення одержимо

(27)

Вираз (27) є умовою побічних максимумів дифракції на дифракційній решітці.

в) побічні мінімуми дифракції на дифракційній решітці одержуємо із умови коли чисельник формули (25) буде найменшим, тобто коли

(28)

звідки

. (29)

Формула (29) є умовою побічних мінімумів на дифракційній решітці.

Дифракція світла на дифракційній решітці, яка має N щілин, показана на рис.5.

Рис.5

Розрахунки показують , що Для достатньо великих значень N побічні мінімуми і побічні максимуми не проявляються. Число головних максимумів дифракції визначається відношенням d до λ ( ), при цьому .

Важливо знати:

а) внаслідок немонохроматичності біле сонячне світло після проходження дифракційної решітки дає максимуми ІІ, ІІІ і більш високих порядків у вигляді спектрів.

б) хороша решітка з малим d і великим N дає дифракційні спектри з великою роздільною здатністю. Характерною ознакою дифракційних спектрів є рівномірний розподіл кольорів у спектрі. На відміну від дифракційного спектра, призматичний спектр стиснутий в області червоних кольорів і розширений в області фіолетових кольорів.

Кожна дифракційна решітка характеризується кутовою дисперсією, яка позначається буквою Д

(30)

де – кутова відстань між спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на величину .

Для знаходження кутової дисперсії дифракційної решітки слід продиференціювати формулу головних максимумів дифракції , тобто

звідки

В межах невеликих кутів , тому можна вважати, що

(31)

Таким чином кутова дисперсія обернено пропорційна періоду решітки d. Чим вищий порядок спектра k, тим більша дисперсія.

Роздільною здатністю спектрального приладу, а таким є дифракційна решітка, називають безрозмірну величину

(32)

де R – роздільна здатність;

λ – довжина хвилі;

– мінімальна різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній, при якій ці лінії спостерігаються роздільно, якщо виконується умова Релея.

Згідно з умовою Релея дві спектральні лінії будуть видимі роздільно у випадку, коли мінімум другої спектральної лінії знаходиться не ближче максимуму першої лінії (рис.6).

Рис.6

Знайдемо роздільну здатність дифракційної решітки. За умовою Релея максимум першої лінії в крайньому випадку збігається з мінімумом другої спектральної лінії. Якщо спектральні лінії будуть розміщені ближче ніж , то жоден спектральний прилад розділити їх не зможе.

Запишемо умову головного максимуму для другої спектральної лінії

(33)