ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

На первом этапе развития квантовой механики возникла проблема физической природы волн де Бройля.

Дифракционная картина, наблюдаемая в опытах с микрочастицами, свидетельствует о неодинаковом распределении потоков этих частиц, отраженных (или рассеянных) по разным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число частиц, чем в других. С позицией волновой теории это означает, что таким направлениям соответствует наибольшая интенсивность волн де Бройля. Очевидно, в дифракционной картине для микрочастиц проявляется статистическая (вероятностная) закономерность: частицы с большей вероятностью попадают в те области пространства, где интенсивность волн де Бройля больше.

Таким образом, своеобразные волновые свойства микрочастицы можно объяснить, предположив, что интенсивность волны де Бройля является мерой вероятности нахождения частицы в конкретных условиях, т.е. в определенном квантовом состоянии.

Для характеристики состояния микрочастицы в квантовой механике вводится волновая функция [¦1] [¦2] y(x, y, z, t). Ее статистическую интерпретацию дал впервые в 1926 г. М.Борн.

Если рассмотреть бесконечно малый объем dV=dx×dy×dz вблизи точки с координатами x,y,z, то вероятность нахождения частицы в момент времени t внутри этого объема дается выражением

dР= . (2.14)

y - функция может быть и комплексной величиной, поэтому

|y|²=y×y^*,

где y^* - функция, комплексно сопряженная с y.

Свое название волновая функция получила потому, что ее математическое выражение для свободной частицы похоже на выражение, описывающее волну. Физический смысл имеет не сама y - функция, а квадрат ее модуля, который определяет интенсивность волны де Бройля микрообъекта. Как следует из (2.14), квадрат модуля волновой функции

(2.15)

имеет смысл плотности вероятностиr_p(x, y, z, t)обнаружить частицу в окрестности точки х, у, z в момент времени t.

В соответствии со своим математическим смыслом вероятность должна быть нормирована на единицу (вероятность достоверного события), т.е. , откуда следует условие нормировки для волновой функции:

. (2.16)

Интегрирование в (2.16) осуществляется по всему объему V, доступному для движения микрочастицы, т.е. по координатам х, y, z от -¥ до +¥.

Кроме условия нормировки (2.16) y - функция должна удовлетворять ряду ограничительных условий:

1) y - функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной (поскольку вероятность не может меняться скачком);

2) производные от y - функции по координатам и времени должны быть непрерывны;

3) y- функция должна удовлетворять принципу суперпозиции: если в данных условиях система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y₁, y₂, ... y_n, то в этих же условиях возможны состояния с волновой функцией y, являющейся линейной комбинацией y_i , то есть ,

где С_n (n = 1,2,3…) – произвольные комплексные числа.

Волновая функция является основным носителем информации о волновых и корпускулярных свойствах микрообъектов.С ее помощью в квантовоймеханике вычисляют средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние < r > электрона от ядра можно найти по формуле

<r>= .