ФОРМУЛА РЭЛЕЯ-ДЖИНСА

Экспериментально установленный характер кривой не удавалось объяснить с позиций классической физики даже при самом тщательном рассмотрении.

Рэлей и Джинс предприняли попытку теоретически определить спектральную плотность излучательности =f(l,T), исходя из классического закона о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они рассматривали равновесное излучение как систему стоячих электромагнитных волн в замкнутой полости (рис.1.3) с идеально отражающими стенками. Каждой такой независимой волне приписывалась средняя энергия <e>= kТ ( kТ - на энергию электрического поля волны плюс kТ – на магнитную энергию). Определив число независимых волн, Рэлей и Джинс получили следующий результат:

(1.22)

или

, (1.23)

где k – постоянная Больцмана,

с – скорость света в вакууме.

Формула Рэлея-Джинса в форме (1.22) или (1.23) удовлетворительно согласуется с экспериментом лишь в области малых частот (больших длин волн) и высоких температур – рис.1.5. При больших частотах наблюдается принципиальное отличие: согласно формуле Рэлея-Джинса при ( ), , тогда как в соответствии с опытом, при , .

Абсурдный результат получается, если, используя (1.23), вычислить энергетическую светимость АЧТ по формуле (1.13) при Т = const ¹ 0:

Это означает, что в неравновесных условиях такое тело должно было бы мгновенно остывать до температуры абсолютного нуля, причем в составе излучения обнаруживалась бы бездна ультрафиолетовых и рентгеновских лучей, что никак не соответствует реальности.

Рис. 1.5

Таким образом, факты свидетельствовали о том, что классическая физика неверно описывает тепловое излучение в области больших частот. Эта ситуация, известная в физике как “ультрафиолетовая катастрофа”, привела к необходимости пересмотра основ физики.

ГИПОТЕЗА И ФОРМУЛА ПЛАНКА

В рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре излучения АЧТ. Правильное (согласующееся с опытом на всех частотах) выражение для спектральной плотности излучательности АЧТ получил М.Планк, правда при весьма странном для того времени (1900год) предположении, чуждом представлениям классической физики о непрерывности изменения энергии любой системы.

Планк выдвинул гипотезу, согласно которой атомы, из которых состоят излучающие тела, могут излучать электромагнитную энергию лишь порциями (квантами), то есть не непрерывно, а дискретно, причем энергия кванта пропорциональна частоте излучения (частоте колебаний атома):

hn= w, (1.24)

где h – постоянная Планка, одинаковая по всему спектру:

h=6,626 · 10^-34Дж· с; = = 1,054 · 10^-34 Дж · с.

Таким образом, согласно идее Планка, каждый атом – это осциллятор, но не классический, а квантовый, энергия которого может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные энергии одного кванта, то есть

. (1.25)

Среднюю энергию <e> такого квантового осциллятора в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т теперь уже нельзя принимать равной kТ. Планк показал, что

<e>= . (1.26)

Формула (1.26) является существенно квантовой, поскольку содержит постоянную Планка h. Если подставить в формулу (1.23) вместо<e> = kТ значение, взятое из формулы (1.26), то получим

. (1.27)

Этот закон Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела блестяще согласуется с экспериментом во всем интервале частот и температур. Формула (1.27) удовлетворяет принципу соответствия – в области малых частот (hn<< kT) она переходит в формулу Рэлея-Джинса (1.23).

На основе закона (1.27) были объяснены все экспериментально открытые законы теплового излучения (закон Стефана-Больцмана, законы Вина), вычислены значения постоянных Стефана-Больцмана (s) , Вина (b и C), Планка (h), Больцмана (k).

Основываясь на законе Планка, можно с помощью специальных приборов – пирометров – надежно определять температуру нагретых тел в области очень высоких Т. Законом Планка пользуются при расчетах характеристик источников света и тепловых режимов электронных приборов.

Отмеченные факты позволяют утверждать, что гипотеза М.Планка о квантовом характере электромагнитного излучения правильна; именно эта мысль Планка послужила толчком к развитию квантовой физики.

ФОТОНЫ

Развивая идею Планка, согласно которой электромагнитное излучение испускается порциями (квантами), Эйнштейн предположил, что свет распространяется в пространстве и поглощается веществом тоже квантами, энергия которых

e_ф=hn. (1.28)

То есть, согласно Эйнштейну, дискретность присуща самому электромагнитному излучению, которое состоит из отдельных частиц – фотонов (световых квантов), движущихся со скоростью распространения света относительно любой инерциальной системы отсчета.

Согласно релятивистской формуле связи между массой и энергией W= mс², фотон с энергией e_ф должен обладать релятивистской массой, зависящей от частоты:

, (1.29)

и импульсом, модуль которого равен

Р_ф = m_фс = = , (1.30)

где k = - модуль волнового вектора , направленного вдоль вектора скорости распространения света.

В векторной записи формула (1.30) имеет вид

. (1.31)

Из формул (1.28) и (1.30) следует связь между энергией и импульсом фотона:

e_ф =cР_ф. (1.32)

Фотон является переносчиком электромагнитного взаимодействия между заряженными частицами. Наиболее отчетливо свойства фотонов, как частиц, проявляются в оптическом и более коротковолновых диапазонах (УФ, рентгеновском, гамма-диапазоне).

Пользуясь выражением (1.31) и (1.28) можно записать законы сохранения энергии и импульса для процессов взаимодействия фотонов с частицами вещества (электронами, атомами и т.д.) в виде:

(1.33)

(1.34)

где - энергии фотона (до и после взаимодействия),

- его импульсы (до и после взаимодействия),

- энергии и импульсы микрочастицы (до и после взаимодействия).

Правильность гипотезы Эйнштейна косвенно подтверждают эффект Комптона и фотоэффект, которые легко объясняются с помощью законов (1.33) – (1.34).