Дерево достижимости

Дерево достижимости представляет все достижимые маркировки сети Петри, а также – все возможные последовательности запусков ее переходов.

Пример 4.4.Частичное дерево достижимости маркированной сети Петри изображено на рисунке 4.11, а, а частичное дерево достижимости для трёх шагов построения имеет вид (рис. 4.11, б).

Для сети Петри с бесконечным множеством достижимых маркировок дерево достижимости является бесконечным. Сеть Петри с конечным множеством достижимых маркировок также может иметь бесконечное дерево достижимости (см. пример 4.4). Для превращения бесконечного дерева в полезный инструмент анализа строится его конечное представление. При построении конечного дерева достижимости для обозначения бесконечного множества значений маркировки позиции используется символ w. Также используются следующие ниже операции надw,определяемые для любого постоянного a.

w -- а = w; w + а = w; а < w; w w.

Алгоритм построения конечного дерева достижимости. Каждая вершина дерева достижимости классифицируется алгоритмом или какграничная вершина, терминальная вершина, дублирующая вершина, или как внутренняя вершина. Алгоритм начинает работу с определения начальной маркировки корнем дерева, и граничной вершиной. Один шаг алгоритма состоит в обработке граничной вершины. Пусть х — граничная вершина, тогда её обработка заключается в следующем:

1. Если в дереве имеется другая вершина y, не являющаяся граничной, и с ней связана та же маркировка, m[x]=m[y], то вершина х становится дублирующей.

2. Если для маркировки m[х] ни один из переходов не разрешен, то x становится терминальной.

3. В противном случае, для всякого перехода t T, разрешенного в m[х], создаётся новая вершина z дерева достижимости. Маркировка m[z],связанная с этой вершиной, определяется для каждой позиции p P следующим образом:

3.1. Если m[х](p) = w, то m[z](p) = w.

3.2. Если на пути от корневой вершины к x существует вершина y с m[y] < m’ (где m’ – маркировка, непосредственно достижимая из m[х] посредством запуска перехода t) и m[y](p) < m’(p), то m[z](p) = w. (В этом случае последовательность запусков переходов, ведущая из маркировки m[y] в маркировку m’, может неограниченно повторяться и неограниченно увеличивать значение маркировки в позиции p.) В противном случае m[z](p) = m’(p).

4. Строится дуга с пометкой t, направленная от вершины x к вершине z. Вершина х становится внутренней, а вершина z – граничной.

Такая обработка алгоритмом граничных вершин продолжается до тех пор, пока все вершины дерева не станут терминальными, дублирующими или внутренними. Затем алгоритм останавливается.

Важнейшим свойством алгоритма построения конечного дерева достижимости является то, что он за конечное число шагов заканчивает работу.

Пример 4.5.Конечное дерево достижимости сети Петри.

Сеть Петри и ее конечное дерево достижимости изображены на рис. 4. 12.:

Важнейшим свойством алгоритма построения конечного дерева достижимости является то, что он за конечное число шагов заканчивает работу. Доказательство основано на трёх леммах.

Лемма 4.1. В любом бесконечном направленном дереве, в котором каждая вершина имеет только конечное число непосредственно последующих вершин, существует бесконечный путь, исходящий из корня.

Доказательство. Пусть x₀ корневая вершина. Поскольку имеется только конечное число непосредственно следующих за x₀ вершин, но общее число вершин в дереве бесконечно, по крайней мере, одна из непосредственно следующих за x₀ вершин должна быть корнем бесконечного поддерева. Выберем вершину x₁ непосредственно следующую за x₀ и являющуюся корнем бесконечного поддерева. Теперь одна из непосредственно следующих за ней вершин также является корнем бесконечного поддерева, выберем в качестве такой вершины x₂. Если продолжать этот процесс бесконечно, то получим бесконечный путь в дереве – x₀,x₁,x₂,…,x_n,… .

Лемма 4.2. Всякая бесконечная последовательность неотрицательных целых содержит бесконечную неубывающую последовательность.

Доказательство. Возможны два случая:

1. Если какой-либо элемент последовательности встречается бесконечно часто, то пусть x₀ является таким элементом. Тогда бесконечная подпоследовательность x₀,x₀,…,x₀,… является бесконечной неубывающей подпоследовательностью.

2. Если никакой элемент не встречается бесконечно часто, тогда каждый элемент встречается только конечное число раз. Пусть x₀ —произвольный элемент последовательности. Существует самое большее x₀ целых, неотрицательных и меньших, чем x₀ (0,..., x₀ - 1), причем каждый из них присутствует в последовательности только конечное число раз. Следовательно, продвигаясь достаточно долго по последовательности, мы должны встретить элемент x₁, x₁ ³ x₀. Аналогично должен существовать в последовательности x₂, x₂ ³ x₁, и т. д. Это определяет бесконечную неубывающую последовательность x₀,x₁,x₂,…,x_n,… .

Таким образом, в обоих случаях бесконечная неубывающая подпоследовательность существует.

Лемма 4.3. Всякая бесконечная последовательность n-векторов над расширенными символом w неотрицательными целыми содержит бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство.Доказываем индукцией по n, где n — размерность векторного пространства.

1. Базовый случай (n = 1). Если в последовательности имеется бесконечное число векторов вида <w>, то они образуют бесконечнуюнеубывающую последовательность (так как справедливо w w). В противном случае бесконечная последовательность, образованная удалением конечного числа экземпляров <w>, имеет по лемме 4.2 бесконечную неубывающую подпоследовательность.

2. Индуктивное предположение. (Допустим, что лемма верна для n докажем её справедливость для n+1.) Рассмотрим первую координату. Если существует бесконечно много векторов, имеющих. в качестве первой координаты w, тогда выберем эту бесконечную подпоследовательность, которая не убывает (постоянна) по первой координате. Если только конечное число векторов имеют w в качестве первой координаты, то рассмотрим бесконечную последовательность целых, являющихся значениями первых координат. По лемме 4.2 эта последовательность имеет бесконечную неубывающую подпоследовательность. Она определяет бесконечную последовательность векторов, которые не убывают по своей первой координате.

В любом случае мы имеем последовательность векторов, неубывающих по первой координате. Применим индуктивное предположение к последовательности n-векторов, которая получается в результате отбрасывания первой компоненты n+1-векторов. Полученная бесконечная подпоследовательность является неубывающей по каждой координате.

Докажем следующую теорему.

Теорема 4.1. Дерево достижимости сети Петри конечно.

Доказательство. Докажем методом от противного. Допустим, что дерево достижимости бесконечно. Тогда по лемме 4.1 (и так как число вершин, следующих за каждой вершиной в дереве, ограничено числом переходов m) в нём имеется бесконечный путь x₀,x₁,x₂,… , исходящий из корня x₀. Тогда m[x₀], m[x₁], m[x₂],… — бесконечная последовательность n-векторов. над Nat {w}, а по лемме 4.3 она имеет бесконечную неубывающую подпоследовательность m[x_k0] m[x_k1] m[x_k2] … . Но по построению дерева достижимости m[x_i] m[x_j] (для i j), поскольку тогда одна из вершин была бы дублирующей и не имела следующих за собой вершин. Следовательно, это бесконечная строго возрастающая последовательность m[x_k0] < m[x_k1] < m[x_k2] …. Но по построению, так как m[x_i] < m[x_j] нам следовало бы заменить по крайней мере одну компоненту m[x_j], не являющуюся w, на w в m[x_j]. Таким образом, m[x_k1] имеет по крайней мере одну компоненту, являющуюся w, m[x_k2] имеет по крайней мере две w-компоненты, а m[x_kn] имеет по крайней мере n w-компонент. Поскольку маркировки n-мерные, m[x_kn] имеет во всех компонентах w. Но тогда у m[x_kn+1] не может быть больше m[x_kn]. Пришли к противоречию, что доказывает теорему.