Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора

Декартовой системой координат (ДСК) в пространстве называется тройка попарно перпендикулярных числовых осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Обозначим – орты координатных осей (координатные орты). Декартовым базисом в пространстве будем называть тройку попарно перпендикулярных ортов. Задание ДСК равносильно заданию декартова базиса

рис

Пусть в пространстве задана ДСК и произвольный вектор , причем его начало совпадает с началом координат.

– проекции вектора на оси координат.

Из рисунка имеем:

или

Таким образом доказано: если в пространстве задан декартов базис, то любой вектор может быть представлен в виде суммы , где – проекции вектора на координатные оси. Формула называется разложением вектора по базису , числа – координаты вектора в данном базисе.

Замечание. На плоскости справедливо представление вектора в виде

или .

Пример 2.1. Найти координаты вектора приведенного на рисунке.

Решение. I способ. Найдем проекции вектора на координатные оси: . Следовательно, .
II способ. Параллельным переносом вектора совмести его начало с началом координат. Нетрудно убедиться, что согласно правилу параллелограмма, вектор равен сумме векторов .

Теорема. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их одноименными координатами:

Доказательство. Пусть – координаты вектора в данном базисе. Тогда :

Остальное ( ) доказывается аналогично.

В частности, .

Правило «конец - начало»

рисРадиус-вектором точки называется вектор, идущий из начала координат в данную точку: . Координаты точки будем называть координаты ее радиус-вектора.

Справедливо утверждение

Доказательство.

Пример 2.2. Даны координаты концов отрезка : и некоторое число .

На отрезке найти: координаты точки такой, что .

Решение.

Обозначим координаты искомой точки . Тогда

Таким образом .

В частном случае, при (деление отрезка пополам), имеем

.