S 47. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ

Задачи управления технологическими производствами можно разделить на управление технологическими процессами в отдельных агрегатах и оперативное управление согласованием работы отдель­ных агрегатов между собой с учетом различного рода возмущений, действующих на весь производственный комплекс. Сюда относят широкий круг задач управления материальными и энергетическими потоками, характерных для непрерывных технологических про­цессов. Их решение направлено на ликвидацию отклонений и на­рушений в ходе производства и связано с определением управляю­щих воздействий. Указанные воздействия рассчитывают на основе моделей управления непрерывными технологическими процессами.

Решение может иметь два варианта. В первом случае задача решается для всей модели комплекса в целом. В реальных усло­виях при таком подходе необходимо рассматривать задачи большой размерности и, как правило, при нелинейной модели общего вида. Для построения и корректировки модели требуется обработка большого объема информации, затруднено использование моделей и алгоритмов для других задач.

Во втором случае исходная модель комплекса разбивается на модели отдельных типовых процессов или операций преобразова­ния потоков. Размерность уменьшается, и даже в случае нелиней-

ного описания ее удается достаточно успешно решить. На типовых моделях определяют существенные свойства структур технологи­ческого комплекса.

Типовые операции.Выделение типовых операций позволяет сформировать основные математические модели процессов при соз­дании АСУ ТП. В непрерывных технологических процессах типо­вые операции рационально связать с числом материальных пото­ков на входе и выходе технологической операции. Можно выделить простые, смесительные, разделительные, сложные типовые про­цессы или операции.

Простая операция имеет один выходной поток (рис. 94, а). Сюда относят модели различных процессов деревообработки с од­ним исходным продуктом и одним выходом.

В общем случае операцию можно описать зависимостью

х = f (y, V),

где х, у — параметры входного и выходного потока; f — заданная функция; V — управляющее воздействие, связанное с выполне­нием технологического регламента.

Смесительная операция имеет несколько входных (п) и один выходной поток (рис. 94, б). Этой операции соответствуют

процессы смешения в деревообрабатывающей промышленности и других отраслях. Сюда относят смешение: стружки и связующего, проклеивающих компонентов и древесной массы при производстве ДВП, компонентов при приготовлении смол и т. д. Математическое описание в общем виде

x_i = f_i (y, V), i=l, . . . , n, (48)

где x_i, у — характеристика i-гo входного потока и общего выход­ного потока; V — управляющее воздействие, связанное с выпол­нением технологического регламента; f_i — заданная функция.

Разделительная операция (рис. 94, в) характеризуется одним входным и несколькими выходными потоками (т). Сюда можно отнести многие технологические операции: сортировку, сепарацию, флотацию, ректификацию и т. д.

Математическое описание в общем виде

y_i=f_j(x, V), j=1, . . . , т, (49)

где y_i, — характеристика j-го выходного потока; х — входной по­ток; V — управляющее воздействие; f_j;- — заданная функция.

Сложная операция (рис. 94, г) имеет п входов и твыхо­дов. Сюда относят агрегаты или процессы, имеющие операции слож­ного характера.

Математическое описание

y_i = f_j ( , ), j =1, . . ., т, (50)

где и — векторы.

Модели рассмотренных операций, имеющих линейный харак­тер (48) — (50), легко изучать, моделировать, анализ и расчет мо­делей технологических комплексов, как правило, осложнены только размерностью модели. Наибольший интерес представляют линей­ные модели технологических процессов с переменными коэффици­ентами. Математическое описание таких моделей можно предста­вить уравнением

где f_ji — заданные функции от V.

Модель линейна и управление потоком может производиться изменением либо x_i, либо коэффициента f_ji.

Коэффициент f_ji, определяемый свойствами рассматриваемой операции и требованиями технологии, может быть ограничен v .

В общем случае модель можно линеаризовать по входным по­токам x_j путем разложения f_j ( , х) в ряд Тейлора в окрестности некоторого значения входных параметров х₀.

Введем новые переменные и_ji = f_ji (V). Тогда

На показатели качества выходного потока положены ограниче­ния. Следовательно, уравнение (51) справедливо при и U. Проа­нализировав приведенные модели, их можно отнести к классу ли­нейных уравнений с переменными коэффициентами.

Переменные коэффициенты характеризуют количественные ха­рактеристики материальных потоков. В простой операции перемен­ный коэффициент характеризует затраты сырья на единицу готовой продукции. Для смесительной операции коэффициенты являются расходными. При разделительной операции они служат коэффи­циентами выпуска. Во всех процессах коэффициенты являются технологическими параметрами. Линейные модели с переменными коэффициентами — частные случаи нелинейных моделей.

Знание типовых моделей отдельных процессов или операций дает возможность формализации и изучения свойств структур не­прерывных технологических процессов, охватывающих ряд агрега­тов.

Наиболее распространены последовательное, параллельное, по­следовательно-параллельное соединения с рециклом (рис. 94, д). При этом предполагают, что количественные и качественные пока­затели материальных потоков не изменяются на участке перехода от одной операции к другой.

Используя модели отдельных процессов, можно рассматривать, изучать и решать задачи управления непрерывными технологиче­скими процессами в условиях функционирования АСУ ТП.

Управляющие воздействия определяют исходя из выполнения заданных критериев, ограничений на количественные и качествен­ные параметры входных и выходных материальных потоков.

Критериями для технологических комплексов с непрерывными технологическими процессами могут быть: прибыль, производи­тельность, объем выпускаемой продукции, затраты на функциони­рование установок и др. Наиболее часто используются критерии производительности и прибыли (себестоимости).

Алгоритмы оперативного управления.Рассмотрим определение алгоритмов управления, моделирования простых непрерывных про­цессов или операций при последовательном, параллельном и по­следовательно-параллельном соединении.

Алгоритм управления при последовательном соединении п про­стых операций x_k = v_ky_k (рис. 95, а) характеризуется условием последовательности

и ограничением

0 x_k x^,,_k; k= 1, . . . , п,

где x^,,_k — заданные числа.

Задача максимизации производительности у_п max заклю­чается в выборе значений x_k и v_k, при которых удовлетворяются ограничения.

На основании (51) и (52) запишем задачу максимизации произ­водительности:

Рис. 95. Схемы соединения операций: а—д — варианты алгоритмов

Сформулированная задача запишется в виде

Так как в (53) есть произведение переменных, задача (54) от­носится к классу задач нелинейного программирования и допускает простую процедуру решения.

Оптимальное значение потока на выходе комплекса определится

формулой

Если максимальное значение у_п.опт достигается при k = 1, то l-я простая операция является «узким местом» технологического непрерывного потока, так как она лимитирует прохождение потока по всей последовательной цепи операций и определяет конечную производительность и оптимальное значение функционала у_п.

Если ввести в задачу (54) ограничения на план выпуска

у_п = х_п+1 у’_п (55)

и в качестве функционала принять затраты производства, можно сформировать линейную задачу минимизации затрат

где С_k —себестоимость переработки сырья на k-й операции.

Алгоритм управления при параллельном соедине­нии т простых операций x_k = v_ky_k (рис. 95, б) характерен для распределения нагрузок между параллельными агрегатами. Рас­смотрим модели с переменными коэффициентами вида x_k = v_ky_k.

Максимизация производительности при ограничении на вели-

чину суммарного потока = x’’₀ по выходу может быть сформулирована в виде системы уравнений:

При решении задачи (57) определяют значения переменных x_h, y_k. Величину v_k определяют из уравнения (51).

Задача минимизации затрат при параллельном соединении т

Таким образом, затраты на каждой операции можно записать, используя формулу G_k = q_k (v) х_k, следующим образом:

Эти уравнения (59) представляют собой задачу линейного про­граммирования с переменными коэффициентами, и она может быть решена с помощью кусочно-линейной аппроксимации функции

Последовательно-параллельное соединение простых операций возможно моделировать и решать как задачи линейного программи­рования с переменными коэффициентами.

Алгоритмы управления смесительными опера­циями. Смесительная операция характеризуется несколькими входными и одним выходным материальным потоком (рис. 95, в)

x_ik = u_iky_k, i=1, . . . , n_k,

где индекс k соответствует номеру смесительной операции; x_ik, у_k — количественная характеристика i-го входного и общего выходного потоков операции; u_i—i-я составляющая вектора управления v_k; n_k — число входных потоков.

где v_k — множество допустимых рецептов смешения. Пусть и_k заданы аналитически, тогда

u’_ik, u’’_ik — заданные вещественные числа.

где v_sk — значение s-гo качественного показателя выходного по­тока; u_sik — значение s-гo качественного показателя i-гo входного потока; m_k —- число контролируемых качественных показателей. Обычно v_sik заданы, а на значение v_sk положены ограничения

Учитывая (61), можно записать

множество v_k определяется.

Постановка задачи смешения [13] возможна, если существуют решения, удовлетворяющие ограничениям (60) — (63). В этом слу­чае решение ищется из условия критерия

F (и, y) min (max).

Если в качестве критерия рассматривать прибыль,

Сформулированную задачу управления смешения можно пред­ставить математической моделью:

где С_оk — отпускная цена единицы смеси; С_ik — себестоимость единицы i-гo входного потока.

Эта задача (65) формально относится к классу обобщенных за­дач линейного программирования. Определяют значения парамет­ров u_ik и у_k и, используя уравнение, находят величины входных

потоков. Эта формулировка задачи называется формулиров­кой в относительных единицах.

Используя стандартную процедуру, можно перейти от задачи обобщенного линейного программирования к эквивалентной за­даче линейного программирования в абсолютных единицах, произ­водя замену переменных из (52).

Алгоритмы управления разделительных опера­ций. Такие операции имеют один входной и несколько выходных потоков. Эта модель достаточно широко характеризует процессы сортировки, флотации, ректификации, адсорбции и т. д. (рис.95, г).

Обычно на каждой стадии процесса смесь разделяется на два компонента.

Рассмотрим модель разделительной операции

y_ik = u_ikx_k, i=1, . . . ,m_k,

где k — индекс, отвечающий номеру операции; x_k, у_k — характе­ристики входного и i-гoвыходного потока; u_k={u_ik} — вектор управляющих воздействий, связанный с распределением входных потоков; т_k — число выходных потоков, u_k u_k.

Разделительную операцию рассмотрим в случае аналитического задания множества u_k.

Рассмотрим разделение смеси, содержащей l_k компонентов. Усло­вие материального баланса по концентрации этого компонента в смеси:

где v_sk — концентрация s-гo компонента в i-м выходном потоке, _sk — заданная концентрация s-гo компонента.

Концентрация компонентов в выходных потоках задана техно­логическим регламентом

где C_ik — цена i-гo выходного продукта; С_ох — удельные затраты. Задачу оптимального разделения можно записать в следующем виде: дополняем критерий (70) ограничениями

Формулировки (70), (71), как и для смесительной операции (65),— формулировки в относительных единицах.

Перейдя к абсолютным значениям потоков y_ik, уравнения (61), (71), можно переписать:

Выпуск продукции ограничен планом

Таким образом, разделение компонентов определяется ограни­чениями (66) — (69) и соотношениями для управлений и концентра­ций

По аналогии со смесительной операцией задача (72) является задачей обобщенного линейного программирования.

Разделительные операции могут быть соединены параллельно (рис. 95, д), тогда при N разделительных операциях ограничения

(72) сохраняют и вводят ограничения входного потока ;

выполнение плана у_ik y’_ik, i = 1, . . ., m_k;

величины прибыли

Решение является результатом применения стандартных про-цедур линейного программирования.

Алгоритмы управления последовательным соеди­нением разделительных операций (см. рис. 95, г). Операции описываются системой уравнений (51).

Последовательное соединение операций описывается как

x_k = y_g(k-1); k = 2. . . . , N, g=1.

Дополнительными ограничениями к (51) являются ограничения на качественные показатели продуктов. Качество промежуточных продуктов:

k=1, . . ., N—1;

качество готовых продуктов:

k=1, . . ., N— 1, i = 1, . . . , mk;

s= 1, . . . , l_k;

—заданные значения концентраций.

Зависимость качественных показателей входных и выходных потоков определится уравнением:

s= 1, . . . , l_k

Для определения x_k и y_ik, максимизирующих прибыль

дополняют ограничениями плана на выходные продукты:

k=1, . . . , N, i = 2, . . . , т_k

и запасы исходного продукта х₁ .

Задача при последовательном соединении разделительных опе­раций может быть сведена к эквивалентной задаче линейного про­граммирования путем замены переменных.

Алгоритм управления непрерывных технологи­ческих процессов по схеме с рециклом при­меняют, когда часть продукта возвращается в начало процесса (сортировка стружки при производстве ДСтП, щепы при производстве ДВП, флотация и т. д.).

Простейшая схема (см. рис. 94, д) включает простую и разде­лительную операции

Из условия материального баланса х₂ = у₁ (см. рис. 94, д) по­лучим:

х₂ = f₁(v₁)x₁=O;

x₁—x_o—y₁₂=O.

При укзанных ограничениях (73) — (74) может быть постав­лена задача максимизации прибыли

F = C₂₂y₂₂—C_oxx_o—g₁(V₁)х₁ — С₂х₂ max.

Переменные параметры x_1, х₂, х₀, y₁₂, y₂₂, v_si, V. Показатели качества v_si могут выбираться по условиям технологического рег­ламента.

При линейных функциях f₁ (V₁), g₁ (V₁) рассматриваемая за­дача (73) — (74) будет задачей обобщенного линейного программи­рования.

Применение рассмотренных простых операций и схем их сое­динения при описании сложных технологических комплексов по­зволяет построить аппроксимирующую модель, выполнить моде­лирование и имитацию процессов, найти оптимальные варианты оперативного управления непрерывными технологическими про­цессами.

В данном параграфе описана формализация непрерывных про­цессов с позиций структуры потоков для простейших технологиче­ских операций. Модели отдельных процессов, отражающих качест­венные показатели (температуру, массу, давление, частоту враще­ния, уровень, толщину и т. д.), рассмотрены в главах 8, 9, 14 как типовые модели.

§ 48. РЕГУЛИРОВАНИЕ ПОТОКА И ЗАПАСА МАТЕРИАЛА

Регулирование потока.Процесс деревообработки невозможен без удерживания некоторого количества материала и полуфабри­катов. Место хранения материалов может быть ограничено имею­щейся свободной площадью или объемом.

Количество накопленного материала не может изменяться одно­временно с изменением материального потока, обычно для этого требуется некоторое время.

Предположим, что в промежуточной области производственного цикла накоплено G (t) тонн материала (рис. 96, а). Поступление материала составляет Q₁ (t) т/ч, а потребление или отводимый поток — Q₂ (t) т/ч. Рост запаса G (t) будет при условии Q₁ (t) > > Q₂ (t), уменьшение — при Q₁ (t) <Q₂ (t). Скорость изменения

Рис. 96. Схемы потоков материалов и запаса:

а — материального потока; б — управления запасом; в — технологической линии с n-сборниками; г — характеристики изменения запаса по n-сборникам; д — изменение за­паса в бункерах

запаса равна результирующей массной скорости и определится из уравнений:

Q₁(t) — Q₂ (t) = Q(t);

[dG (t)]/dt = Q (t) = Q₁(t) — Q₂ (t).

Зависимость между текущим запасом G (t) и результирующей масс­ной скоростью

Таким образом, изменение запаса всегда будет интегралом от изменения результирующего потока Q (t) и, преобразовав по Лапласу уравнение (75), получим

pG_p—G(0)= Q(p)

или

pG(p)—G(0) = Q₁(p)—Q₂(p). (76)

Операция интегрирования в уравнении (75) определяет процесс изменения запаса при G₁ (t) G₂ (t) как идеальное интегрирующее звено. Передаточная функция из уравнения (76) определяет модель процесса изменения запаса

G (р) = 1/p [ Q₁ (p)—G (0)] W (p) = [G (p)]/[ Q (p)] = 1/p.

Перемещения материалов в соответствии с типовыми моделями структуры потоков относятся к процессу идеального вытеснения. Поэтому математическое описание изменения запаса следует до­полнить структурной моделью идеального вытеснения, представ­ляющей собой звено чистого запаздывания W₃ (р) = е^—p . Общее уравнение будет (рис. 96, б)

где W_п —общая передаточная функция; = l/v, l—расстояние между рассматриваемыми точками; v — скорость перемещения

потока.

В деревообрабатывающей промышленности многие технологи­ческие системы содержат конвейерные устройства, технологиче­ское оборудование и емкости или промежуточные сборники. Это характерно для производств: древесностружечных и древесново­локнистых плит, стройдеталей, покрытий мебельных щитов и для других участков, где используют автоматические или полуавтома­тические линии.

В этих условиях важно изучение правил, которые определяют изменение потока материала между емкостями или сборниками для верного формирования рекомендаций по управлению матери­альными потоками на данных объемах сборников или для оптималь­ного выбора объема сборников, бункеров. Сборники или бункера между технологическими операциями могут решать задачу компен­сации возмущений по нагрузке.

При управлении процессами перемещения необходимо иметь в виду, что если регулируется запас, то материальный поток бу­дет переменным и наоборот, если регулируется материальный по­ток, переменным будет запас.

Управление потоком на участке технологической линии харак­теризуется подводимым потоком Q₁ (t) и отводимым потоком Q₂ (t). Постоянство запаса или удерживающей способности характери­зуется уравнением

Если отводимый поток пропорционален запасу Q₂ (t) — kG (t), связь между подводимым и отводным потоком может характеризо­ваться передаточными функциями:

Структурная схема, характеризующая процесс управления по­током по пропорциональному закону, представлена на рис. 96, в.

Рассматривая технологическую линию можно видеть, что она состоит из ряда сборников, бункеров или транспортных механиз­мов, перемещающих материал, структурную схему можно предста­вить рис. 96, г. Передаточная функция запаса n-го сборника W₃ (p) от подводимого к нему потока будет [13, 33]:

Аналогично запишется соотношение между отводимым Q₂ (p) ^и подводимым Q₁ (p) потоками:

Приняв масштаб шкалы времени как а = kt, и отношение p/k = , уравнения примут вид:

Из построенных характеристик 1—5 по уравнениям (77) для технологической системы, состоящей из пяти одинаковых бунке­ров или емкостей (рис. 96, д), можно сделать вывод [13, 33], что чем дальше емкость от точки приложения возмущения, тем меньше влияние на запас как в сторону пополнения, так и уменьшения его.

Изменение подчинено экспоненциальному закону. Максималь­ное значение запаса находят из уравнения

Достигается максимальный запас по емкостям или складам, последовательно расположенным в технологической схеме в раз­личное время и имеющим различную величину.

Регулирование запаса. На величину запаса G оказывают влия­ние подводимые и отводимые потоки, суммарное воздействие ко-

торых характеризуется величиной Q(t) = . Для случая двух потоков

Q(t) = Q₁(t)—Q₂(t).

Следовательно, управлять запасами может один из указанных по­токов. Динамические характеристики изменения запаса будут за­висеть от принятого способа управления.

Возможны три варианта регулирования запаса:

1) непрерывное регулирование — закон управления форми­
руется как функция отклонения = G₃ (t) — G (t). В этом случае
величину запаса контролируют непрерывно и непрерывно форми­
руются и выдаются управляющие воздействия;

2) величину запаса контролируют через равные определенные
промежутки времени, формируется управляющее воздействие по
величине рассогласования е и выдается управляющее воздействие
на соответствующий поток. На отрезке времени между измере­
ниями величина воздействия остается постоянной;

3) величина запаса может регулироваться позиционно с соблю­
дением верхней и нижней допустимых границ отклонения запаса
от заданного ± _зад.