Глава 5

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

S 31. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ РАБОТЫ АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

В реальных условиях на ход протекающих технологических про­цессов влияют возмущающие воздействия — изменение количест­венных и качественных характеристик материальных потоков. Это приводит к нарушению нормального режима работы оборудо­вания, т. е. к отклонению технологических переменных, характе­ризующих режим, от заданного значения. Для поддержания пара­метров на заданном уровне используют автоматические регуля-

торы, которые решают задачу стабилизации оптимальных режимов путем изменения количества регулируемой среды.

Описать работу автоматической системы можно словесно. Такое описание совершенно необходимо при решении любых за­дач, возникающих в автоматических системах, поскольку оно по­ясняет в первую очередь принцип действия конкретной системы.

Рассмотрим систему автоматического регулирования уровня жидкости H в баке (рис. 53). Возмущающими воздействиями яв­ляются изменения расхода. Если приток Q_п равен расходу Q_р, регулируемая величина Н в баке 1 объекта регулирования равна заданному значению Н_3ад. При нарушении равенства Q_п = Q_р уровень изменяется, что приво­дит к рассогласованию между текущим Н и Н_3ад, т. е. = =Н — Н_3ад. При отклонении уровня поплавок 2 перемещает движок потенциометра 3, ко­торый совместно с потенциомет­ром 4 образует мостовую схему. Напряжение разбаланса моста U подается на усилитель 5, на выходе которого включен реверсивный двигатель 6. Вал элек­тродвигателя связан с вентилем 7, являющимся регулирующим органом автоматической системы регулирования (АСР) уровня.

Направление вращения двигателя, а следовательно, открытие или закрытие вентиля 7 зависит от направления изменения уровня, т. е. от знака рассогласования . При увеличении уровня >0 вентиль уменьшит подачу Q_п, при уменьшении уровня <0 по­дача увеличится. Заданное значение уровня Н_3ад можно менять, перемещая движок потенциометра 4, что приводит к разбалансу моста, изменению притока Q_п, а значит, и уровня Н.

Словесное описание не может в полной мере характеризовать систему из-за отсутствия количественной оценки качества работы последней. Кроме того, существует много систем, различных как по назначению, так и по принципу действия, и описание каждой из них в отдельности не позволяет дать каких-либо обобщений и сравнить различные системы между собой. Поэтому для описания работы автоматических систем используются другие способы, по­зволяющие количественно и качественно описывать поведение си­стемы как в установившемся, так и переходных режимах. Работу любой автоматической системы в установившемся и пе­реходном режимах можно описать, использовав статические и ди­намические характеристики элементов системы.

Статической характеристикой называют за­висимость выходного параметра от входного в установившемся ре­жиме. Статические характеристики позволяют рассчитать величину изменения выходного параметра при известном изменении входного воздействия после достижения установившегося состояния.

Математическое выражение этой зависимости у = f (х) назы­вают уравнением статики. На рис. 54 приведены примеры статиче­ских характеристик элементов автоматических систем, которые могут быть линейными и нелинейными.

Линейная статическая характеристика представляет собой пря­мую, проходящую под некоторым углом к оси абсцисс (рис. 54, а). Угол наклона характеристики есть величина постоянная, а его тангенс определяет величину коэффициента передачи или коэффи­циента усиления k элемента: k = y/x.

Для нелинейных статических характеристик коэффициент пе­редачи в разных точках характеристики различен и определяется величиной тангенса угла наклона касательной к выбранной точке нелинейной характеристики.

Рис. 54. Статические характеристики: линейная (а), нелинейная (б) Рис. 55. Технологический объект управления

Большинство реальных объектов управления обладают нели­нейными статическими характеристиками, и их динамика описы­вается нелинейными дифференциальными уравнениями, решение которых весьма сложно. Поэтому важно рассмотреть возможность их линеаризации — замены нелинейной статической ха­рактеристики отрезками прямых линий. Линеаризация нелиней­ной статической характеристики возможна только в том случае, если она непрерывна и имеет непрерывное изменение производной во всем диапазоне кривой.

Для линеаризации заданной аналитически нелинейной стати­ческой характеристики у = f (х) ее раскладывают в окрестности значения входной величины х₀ в ряд Тейлора:

и приближенно заменяют f (х) двумя первыми членами этого ряда

y f(х₀)+ f’(х₀)(x -х₀)

т. е. кривую f (х) заменяют прямой, касательной к ней в точке х₀, с наклоном, соответствующим f’ (х₀).

При линеаризации нелинейных характеристик предполагается, что отклонения переменных от их установившихся значений остаются достаточно малыми.

Если статическая характеристика задана графически, для ее линеаризации в рабочей точке с абсциссой х₀ проводят касательную так, чтобы отрезки между кривой и касательной в диапазоне ре­альных изменений входной величины х₁ и х₂ были равны между собой у₁ = у₂, как показано на рис. 54, б.

Допустимость замены нелинейной функции прямой линией оце­нивается по величине возможных ошибок из-за расхождения, при­ближенно их можно оценивать по величине у₁ = у₂ на границе интервала изменения входной величины.

Динамические характеристики автоматиче­ской системы и ее элементов есть зависимости изменения выход­ного параметра во времени при известном законе изменения вход­ного воздействия. Динамические свойства автоматической системы и ее элементов могут быть описаны дифференциальными уравне­ниями, передаточными функциями, временными и частотными ха­рактеристиками.

Дифференциальные уравнения автоматической системы и ее элементов.Для аналитического описания динамических свойств элементов автоматических систем дифференциальными уравнениями используют самые разнообразные физические, химические и дру­гие законы. Наиболее часто применяют уравнения материального или энергетического балансов.

Рассмотрим пример составления дифференциального уравне­ния для некоторых простейших элементов систем автоматического регулирования. На рис. 55 в качестве элемента АСР показан объект регулирования, представляющий собой теплообменник, в который непрерывно подаются холодная вода и пар. Смешиваясь с горячим конденсатом, вода нагревается и, достигнув требуемой темпера­туры, подается потребителю. Выходной величиной в этом объекте является температура горячей воды, а входной — поток тепла, поступающий в теплообменник с паром и холодной водой.

Обозначим через Q₁ и Q₂ количество тепла, поступающего в теп­лообменник в единицу времени с холодной водой и паром соответст­венно, Q₃ —__количество тепла, выходящего из теплообменника в единицу времени с горячей водой.

При установившемся режиме потоки тепла, приходящие и ухо­дящие в теплообменнике, равны между собой: и температура горячей воды неизменна:

Если изменить параметры какого-либо из тепловых потоков или всех одновременно, температура станет изменяться, скорость этого изменения будет зависеть от величины изменения тепловых потоков и коэффициента А тепловой емкости объекта, «спустя не­которое время установится температура, соответствующая новому балансу тепловых потоков. В переходном режиме от одного уста­новившегося состояния в другое справедливо уравнение

где Q = Q—Q_o — изменение теплового потока.

Предположим, что количество тепла, поступающего с холодной водой, неизменно, т. е. Q₁ = 0, и возмущение наносится расхо­дом пара Q₂. Если принять во внимание, что изменение теплового потока Q₃ пропорционально изменению температуры горячей воды, ее удельной теплоемкости с и массе т, то Q₃ = cm , и дифференциальное уравнение в переходном режиме будет:

Обычно дифференциальные уравнения приводят к виду, при котором коэффициент при переменной равен единице. Разделив обе части уравнения на тс, получим

Введем обозначения:

Коэффициент Т — постоянная времени; К, — коэффициент пере­дачи объекта регулирования.

Таким образом, динамические свойства смешивающего тепло­обменника описывают линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Дифференциальное уравнение элемента или всей автоматиче­ской системы может иметь более высокий порядок и содержать производные не только выходной (в левой части уравнения), но и входной величины (в правой части).

В общем случае автоматическая система может быть описана линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффи­циентами в виде

Решение дифференциальных уравнений высокого порядка вы­зывает значительные трудности из-за необходимости определения корней характеристического уравнения и постоянных интегриро­вания, поэтому часто интеграл дифференциального уравнения на­ходят с помощью операторного метода Лапласа.

Передаточные функции.Это — особая форма записи преобра­зованного по Лапласу дифференциального уравнения. Использова­ние передаточных функций дает ряд преимуществ при исследова-

нии процесса регулирования, т. е. при решении дифференциаль­ного уравнения динамики. Преобразование Лапласа позволяет представить функцию вещественного переменного (времени) как функцию комплексного переменного. Это осуществляют с помощью прямого преобразования Лапласа по формуле

Исходная функция времени х (t) называется оригиналом, комплексная функция X (р) — изображением.

Сокращенно преобразование Лапласа записывают также в виде

Если известно изображение X (р) и требуется получить функ­цию времени, то оригинал находят по правилам обратного преоб­разования Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Умножение оригинала на постоянную величину а соответст­
вует умножению изображения на это же число: L [ax (t) ]= аХ (p)•

2. Суммирование оригиналов соответствует суммированию изо­
бражений L [х₁ (t) + х₂ (t)] = Х₁ (p) + Х₂ (р).

3. Дифференцированию оригиналов соответствуют следующие
выражения для изображений:

При нулевых начальных условиях, если при t = 0 выходная величина х (0) и все ее производные х' (0) ... х^n-1 (0) равны 0,

получим

Таким образом, в этом случае n-кратному дифференцированию оригинала соответствует просто умножение на р^п его изображения.

4. Интегрирование интеграла соответствует делению изобра­жения на р

Таким образом, в области изображений дифференциальные урав­нения превращаются в алгебраические, а операции дифференци­рования и интегрирования заменяются соответственно умноже­нием или делением на оператор р. Это не только упрощает процесс решения сложных задач, но и открывает новые возможности пере­работки информации о динамических свойствах сложных систем по заданным характеристикам элементов системы.

Решение дифференциального уравнения с помощью преобразо­ваний Лапласа основано на том, что в заданном уравнении выра­жения для неизвестной функции и ее производных, а также функ­ций, характеризующих возмущающее воздействие, заменяют со­ответствующими изображениями. Таким образом получается вспо­могательное уравнение в изображениях — алгебраическое. Из этого уравнения находят изображение искомой функции.

Основная трудность при использовании этого метода заклю­чается не в решении уравнения, а в переходах от оригинала функ­ции к ее изображению и обратно. Практические операции прямого и обратного преобразования Лапласа осуществляют с помощью таблиц оригиналов и изображений, приводимых в справочниках.

Полученное вспомогательное уравнение (17) в изображениях несет ту же информацию о динамике системы, что и исходное диф­ференциальное. Но поскольку это уравнение алгебраическое, по­является возможность динамику системы характеризовать отно­шением изображений выходного сигнала Y (р) к входному X (р). Такое отношение представляет собой алгебраическое выражение и с его помощью простейшим образом непосредственно (не переходя к оригиналу решения) могут быть получены выражения, характе­ризующие как динамические, так и статические свойства анали­зируемой системы. Это отношение называют передаточной функ­цией системы

Из выражения (18) и определения передаточной функции сле­дует, что Y(p) = W(p) X (р), т. е. изображение выходной вели­чины равно произведению изображения входной величины на пе­редаточную функцию этого элемента или системы.

Передаточные функции широко используются при исследовании автоматических систем регулирования. На изучении ее свойств основаны все современные методы анализа качества автоматиче­ских систем, не требующие непосредственного решения дифферен­циального уравнения.

Временные характеристики автоматической системы и ее эле­ментов.Временными характеристиками системы называют зависи-

мости от времени значений выходной величины при поступлении на вход некоторого типового воздействия. Наиболее важная вре­менная характеристика — реакция системы на единичное ступен­чатое воздействие входной величины, так как этот режим работы наиболее часто возникает в системе при ее включении, изменении режима и т. д. Таким образом, под временной характеристикой понимается процесс изменения выходной величины в функции вре­мени при переходе системы из одного равновесного состояния в дру­гое в результате поступления на вход единичного ступенчатого воздействия.

Дифференциальное уравнение системы тоже определяет изме­нение выходной величины во времени, поэтому временная характе­ристика представляет собой графическое решение дифференциаль­ного уравнения системы для единичного входного воздействия при нулевых начальных условиях, и следовательно, характеризует динамические свойства системы.

Так как временные характеристики системы могут быть полу­чены не только путем решения дифференциального уравнения си­стемы, но и экспериментально, то возможность изучения динамики системы по временной характеристике имеет важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется находить и решать дифференциальные уравнения.

Если в течение всего времени перехода системы из одного устой­чивого состояния в другое единичное входное воздействие (рис. 56, а)

X_BX=

остается приложенным к звену или системе, то в этом случае вре­менную характеристику принято называть переходной функцией элемента или системы. Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой системы. Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие в виде дельта-функции (рис. 56, б)

(t)=

называется импульсной переходной функцией. Ее графическое изо­бражение называется импульсной переходной характеристикой эле­мента или системы.

При поступлении на вход элемента или разомкнутой системы с передаточной функцией W (р) входной величины х_вх0 = 1 на выходе получаем временную характеристику у_вых (t) = h(t). При этом изображения входной и выходной величины равны:

Из выражения (19) следует, что по временной характеристике системы можно получить передаточную функцию системы.

Частотные характеристики автоматических систем и их элемен­тов. Для описания поведения системы и ее элементов широко ис­пользуют частотные характеристики, которые определяют их ди­намику при воздействии на их вход гармонических колебаний вида x_ВХ (t) = A_ВХl sin ( ₁t), где A_ВХl— амплитуда входных колеба­ний; ₁ — угловая частота колебаний; t— время.

Если автоматическая система линейная, то на ее выходе также устанавливаются синусоидальные колебания с частотой _1; но с ам­плитудой A_ВХl. сдвинутые по фазе относительно входного сиг­нала на угол (рис. 57): у_ъых (t) = = A_ВХl sin ( ₁t— ₁).

Рис. 56. Типовые входные воздействия: скачкообразное (а), импульсное (б) Рис. 57. Входные и выходные величины

Амплитуда А_вых1 и фаза ₁ выходных колебаний зависят от динамических свойств системы, частоты и амплитуды входных ко­лебаний. Знак минус перед обусловлен тем, что у реальных элементов автоматических систем выходное колебание отстает по фазе от входного.

Запишем х_вх (t) и у_вых (t) в комплексном виде:

где j = ,

Отношение выходных колебаний системы у_вых (t) к входным х_вх (t), выраженным в комплексном виде, называют комплексным коэффициентом передачи системы при частоте ₁

С изменением частоты колебаний на входе при постоянной ам­плитуде A_вх амплитуда выходных колебаний A_вых и фазовый сдвиг будут меняться, что вызовет изменение комплексного коэффици­ента передачи системы. Совокупность всех значений комплексного коэффициента передачи при изменении от 0 до называют ком­плексной частотной характеристикой системы или ампли­тудно-фазовой характеристикой (АФХ) си­стемы и обозначают через W (j ),

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных коле­баний от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают через А ( ) (рис. 58, о). Зависимость фазового сдвига выходных колебаний относительно входных от частоты колебаний называют ф а з о -частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают через ( ) (рис. 58, б). Эти частотные характеристики связаны между собой уравнением

Графически АФХ представляет собой кривую, называемую годографом, описываемую на комплексной плоскости концом век­тора, модуль которого равен значениям A( ), а аргумент — ( ) при изменении частоты от 0 до (рис. 58, в).

Рис. 58. Частотные характеристики: амплитудно-частотная (а), фазо-частот-ная (б), амплитудно-фазовая (в)

Проекцию АФХ на действительную ось комплексной плоскости называют вещественной частотной характеристикой и обозначают через R ( ), а проекцию на мнимую ось — мнимой частотной ха­рактеристикой и обозначают через I ( ).

Частотные характеристики могут быть определены одна через другую с помощью следующих зависимостей:

Частотные характеристики могут быть получены эксперимен­тально или из дифференциального уравнения системы. Если задана

то для получения производной ее надо умножить на функцию j

Для получения второй производной функцию умножают на (j )²: (d²x)/(dt²) = (j )²х и т. д.

Подставив в дифференциальное уравнение выражения для вход­ных и выходных установившихся колебаний, получим АФХ:

Таким образом, для получения АФХ достаточно в передаточ­ную функцию системы вместо оператора р подставить j . При этом необходимо избавиться от мнимости в знаменателе, для чего дробь умножают и делят на комплексно-сопряженный знаменателю член.

§ 32. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Структурная схема системы автоматического управления пред­ставляет собой ее динамическую модель и состоит из отдельных типовых динамических звеньев, отражающих динамические свой­ства системы в целом.

Рис. 59. Способы соединений звеньев: последовательное (а), параллельное (б), последовательно-параллельное (в)

Чтобы получить структурную схему автоматической системы управления, необходимо каждый ее функциональный элемент за­менить соответствующим динамическим звеном и соединить их в той же последовательности. Графически структурная схема системы изображается в виде прямоугольников, в которых записываются передаточные функции звеньев. Связи между звеньями обозна­чаются линиями со стрелками, указывающими направление пе­редачи сигнала.

Звенья, образующие структурную схему, могут быть соединены между собой последовательно, параллельно или встречно-парал­лельно. Зная передаточные функции отдельных звеньев, образую­щих структурную схему системы, и пользуясь определенными пра­вилами эквивалентного преобразования структурных схем, можно получить передаточную функцию системы любой сложности и уп­ростить структурные схемы системы в целом.

Последовательное соединение звеньев.Последовательным назы­вается такое соединение звеньев системы, при котором выход каж­дого предыдущего связан с входом последующего звена (рис. 59, а). При таком соединении звеньев все воздействия передаются после-

довательно от одного звена к другому. При последовательном сое­динении п звеньев с передаточными функциями W₁ (p), W₂ (р) . . . . . . W_n (p) будем иметь следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений относительно входной X (р) и выходной Y (р) величин, получим

Y(p) = W₁(p)W₂(p). . .W_n(p)X(p). Передаточная функция системы в целом

W(p)=[Y(p)]/[X(p)]=W₁(p) W₂,(p). . .W_n(p),

следовательно, передаточная функция автоматической системы, состоящей из п последовательно соединенных звеньев, равна про­изведению передаточных функции всех звеньев, входящих в соеди­нение.

Параллельное соединение звеньев.Параллельным называется такое соединение, при котором входные воздействия всех звеньев одинаковы, а выходная величина системы равна сумме выходных величин отдельных звеньев (рис. 59, б). Так, для системы, состоя­щей из n параллельно соединенных звеньев, можно записать:

Решая эту систему уравнений относительно Y (р) и X (р), по­лучим

Y(p) = [W₁(p) + W2(p)+ . . . +W_n(p)]Y(p).

Следовательно, систему, состоящую из п параллельно соеди­ненных звеньев, можно заменить одним эквивалентным звеном, передаточная функция которого

равна сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в это соединение.

Встречно-параллельное соединение звеньев.Если выходная ве­личина одного звена подается на вход другого, а входная вели­чина первого звена формируется в виде суммы его входного воз­действия и выходного воздействия второго звена, как это показано

на рис. 59, в, то такое соединение называют встречно-параллель­ным или обратной связью.

Обратной связью называется цепь передачи воздейст­вий с выхода системы (звена) на ее вход. Обратная связь будет по­ложительной, если выходная величина ее звена суммируется с вход­ной величиной системы, и отрицательной, если выходная величина цепи обратной связи вычитается из входной величины. На вход первого звена, стоящего в прямой цепи системы, подается сигнал Х (р), равный Х (р) = X (р) ± Х_о._с (р).

Для системы, показанной на рис. 59, в, с отрицательной обрат­ной связью будем иметь следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, получим

Y (Р) = [W₁ (p) /(1 + W₁ (p) W₂ (p)] X (р).

Следовательно, систему с обратной связью можно заменить одним эквивалентным звеном, передаточная функция которого

Используя полученные выражения для преобразования струк­турных схем, можно определить передаточные функции любой автоматической системы.

§ 33. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗВЕНЬЕВ ПО ДИНАМИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМ

При решении задач анализа и синтеза автоматическую систему
разбивают на отдельные части, математическая зависимость между
входными и выходными величинами которых и временем описы­
вается дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.
Такие искусственно выделенные части автоматической системы на­
зывают элементарными динамическими
звеньями. В отличие от элемента динамическое звено необя­
зательно является конструктивной или схемнозаконченной частью
системы. Одному элементу (например, исполнительному механизму)
могут соответствовать несколько динамических звеньев.

При представлении элементов системы в виде элементарных динамических звеньев не важен принцип построения элемента. Элементы различной физической природы могут быть представ­лены в виде одинаковых динамических звеньев, если их динамиче­ские свойства описываются одинаковыми дифференциальными урав­нениями. Поэтому при решении задач анализа и синтеза автомати­ческих систем многообразие элементов автоматики сводится к не­скольким типовым элементарным динамическим звеньям.

Существуют 6 типовых элементарных динамических звеньев: усилительное, апериодическое, колебательное, интегрирующее, диф­ференцирующее и чистого запаздывания.

Усилительное звено.Это простейшее звено, которое образуется в случае передачи входного сигнала на выход без каких-либо за­медлений или ускорений во времени, т. е. переходные процессы в звене отсутствуют. Примеры усилительных звеньев приведены на рис. 60, а—в.

Свойства этого элемента описываются уравнением у = Кх, где К — коэффициент усиления звена.

Рис. 60. Усилительные и апериодические звенья:

а — рычажная передача; б — зубчатая пара; в — усилитель; г — пассивный четырех­полюсник; д — термопара; е — магнитный усилитель; ж — электродвигатель

Передаточная функция звена представляет собой постоянную величину W (р) = К.

Амплитудно-фазовая характеристика усилительного звена также равна постоянной величине W (j ) = К, при этом амплитудно-частотная характеристика А ( ) = К, а фазочастотная характе­ристика ( ) = 0. Графически АФХ изображается в виде точки на вещественной оси комплексной плоскости на расстоянии К от начала координат.

Апериодическое звено.Звено называется апериодическим, если его входная и выходная величины связаны между собой дифферен­циальным уравнением

T(dy)/dt + y = Kx.

Примеры апериодических звеньев приведены на рис. 60, г—ж. В операторной форме это уравнение может быть записано как

(Tp+1)Y(p) = KX(p),

тогда передаточная функция звена имеет вид

W(p) = K/(Tp+1).

Если на вход звена Подать ступенчатое воздействие, то времен­ная характеристика будет иметь вид

Заменив р на j , получим АФХ апериодического звена

При Т₁ = 2Т₂ получают вещественные и равные корни уравне­ния а временная характеристика за­писывается выражением

Колебательное звено.Колебательным называется звено, у ко­торого выходные и входные величины связаны следующим диффе­ренциальным уравнением:

которое в операторном виде записывается как

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

где К — коэффициент усиления звена; Т₁иТ₂ — постоянные вре­мени звена; при Т₂ = 0 звена превращается в апериодическое.

Примеры некоторых колебательных звеньев приведены на рис. 61.

В зависимости от соотношения между постоянными времени Т₁ и Т₂ корни характеристического уравнения будут вещественными, мнимыми или комплексно-сопряженными. В соответствии с этим и временная характеристика звена будет иметь апериодический или колебательный характер.

При Т₁>2Т₂ получают вещественные и разные корни р₁ = ₁ и р₂ = ₂ характеристического уравнения, тогда временная ха­рактеристика звена имеет вид

При Т₁ 2Т₂ переходные процессы в звене протекают аперио­дически и такое звено не является колебательным. Оно может быть представлено в виде последовательного соединения двух апериоди­ческих звеньев.

При T₁<2Т₂ корни уравнения будут комплексными p_1,2 =

= ±j , где

Временная характеристика такого звена

Рис. 61. Колебательные звенья:

а — пассивный четырехполюсник; б — мембранный исполнительный механизм

При Т₁ = 0 в колебательном звене возникают незатухающие колебания. АФХ колебательного звена имеет вид

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики коле­бательного звена:

Интегрирующеезвено. Звено называется интегрирующим, если выходная величина пропорциональна интегралу от входной ве­личины.

Дифференциальное уравнение интегрирующего звена имеет вид

T(dy)/(dt) = Kx.

где = K/T — скорость разгона.

Интегрируя это уравнение, получим

Рис. 62. Интегрирующие, дифференцирующие и запаздывающие звенья:

а— пассивный четырехполюсник; б — гидравлический исполнительный механизм; в—электродвигатель; г - пассивный четырехполюсник; д - спокоитель с пружиной в ме­ханических цепях; е — ленточный конвейер

Примеры некоторых интегрирующих звеньев приведены на рис. 62, а—в.

Передаточная функция такого звена: W (р) = /р.

Временная характеристика интегрирующего звена у (t) = x_ot имеет вид прямой линии, наклоненной к оси абсцисс под углом а = arctg x₀. АФХ звена

представляет собой прямую, совпадающую с отрицательной мнимой осью характеристики. Амплитуда выходных колебаний звена А ( ) = / убывает с частотой, а фаза = — /2. Таким обра­зом, интегрирующее звено при всех частотах создает отставание выходных колебаний от входных на 90°.

Дифференцирующее звено.Динамическая характеристика этого звена описывается дифференциальным уравнением вида у =

= К (dx)/(dt), и передаточная функция этого звена равна

W (р) = Кр.

Дифференцирующее звено представляет собой устройство, ко­торое на выходе дает величину, производную по времени от входной величины. Однако на практике осуществить такое идеальное диф­ференцирующее звено невозможно, так как все физические про­цессы в природе в той или иной степени инерционны, а в соответст­вии с уравнением этого звена скачкообразное изменение входной величины должно вызвать мгновенное изменение выходной вели­чины от 0 до и немедленный спад ее до 0. В системах регулиро­вания применяют звенья, которые выполняют дифференцирующее действие приближенно; они называются реальными диффе­ренцирующими звеньями. Уравнение такого звена имеет вид

T(dy)/(dt) + y = KT(dx)/(dt),

а передаточная функция такого звена W (р) = (КТр)/(Тр + 1).

Временная характеристика реального дифференцирующего звена у (t) = Кх_ое^—(t/T).

Примеры дифференцирующих звеньев приведены на рис. 62, г, д.

При уменьшении постоянной времени Т реальное дифференци­рующее звено по своим свойствам приближается к идеальному.

АФХ реального дифференцирующего звена имеет вид

а АЧХ и ФЧХ определяются уравнениями:

Запаздывающее звено.Запаздывающим называют звено, вко­тором выходная величина воспроизводит изменение входной ве­личины без искажений, но с некоторым постоянным запаздыванием : y(t) = x (t— ).

Передаточная функция запаздывающего звена: W(p) = e^—p/ .

Примером запаздывающего звена может служить ленточный конвейер (рис. 62, е), который загружают с одного конца материа­лом, поступающим из бункера.

АФХ такого звена

W(j )=e^—j

Графически ее представляют в виде окружности единичного радиуса А ( ) = 1 с центром в начале координат.

§ 34. ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Совокупность устройств, подключаемых к объекту управления для автоматического регулирования его параметров, называется автоматическим регулятором. Непосредственно с объектом управ­ления связаны измерительный элемент и исполнительный механизм регулятора. Входной величиной регулятора является регулируе­мый параметр, выходной — положение регулирующего органа.

Автоматические регуляторы и законы регулирования.Автомати­ческий регулятор измеряет отклонение регулируемого параметра от заданного значения и в соответствии с реализованным законом регулирования воздействует на регулирующий орган для умень­шения этого отклонения. В промышленности для автоматизации различных технологических процессов используют множество ре­гуляторов, отличающихся друг от друга разнообразными призна­ками.

Автоматические регуляторы классифицируют по следующим наиболее характерным признакам:

по назначению — регуляторы температуры, давления и т. д.;

в зависимости от источника энергии — регуляторы прямого и непрямого действия;

по конструктивному оформлению — регуляторы приборного типа, в котором все основные элементы смонтированы в одном кор­пусе, и агрегатные, состоящие из отдельных унифицированных блоков, каждый из которых имеет определенное назначение, что дает возможность разрабатывать схемы регулирования любой сложности;

по виду используемой энергии — регуляторы электрические, пневматические, гидравлические и комбинированные.

Основной характеристикой регулятора является реализован­ный в нем закон регулирования — зависимость между изменением регулируемого параметра и положением регулируемого органа. По характеру воздействия на регулируемый орган разли­чают регуляторы непрерывного и дискретного действия.

Основными элементами регулятора являются (рис. 63):

измерительное устрoйство ИУ для измерения регулируемой ве­личины; задающее устройство ЗУ для ручного или автоматического ввода заданного значения регулируемой величины;

устройство сравнения УС измеряемого и заданного значений для определения величины и знака отклонения; управляющее устройство УУ для вычисления величины регулирующего воздейст­вия; исполнительный механизм ИМ для управления регулирую­щим органом РО на входе технологического объекта.

Регуляторы непрерывного действия в зависимости от реали­
зуемого закона регулирования подразделяются на следующие
типы: интегральные — И-регуляторы; пропорциональные — П-ре-
гуляторы; пропорционально-интегральные — ПИ-регуляторы;

пропорционально-интегрально-дифференциальные — ПИД-регуля-торы.

Пропорциональными, или статическими, регуляторами называют такие регуляторы, у которых положение регулирующего органа пропорционально отклонению регулируе­мого параметра от заданного значения: х = — К_ру, где К_р — ко­эффициент передачи регулятора, являющийся показателем его на­стройки.

Передаточная функция П-регулятора имеет следующий вид: W(p) = - К_р.

Преимуществом П-регулятора является его быстродействий, т. е. малое время переходного процесса и высокая устойчивость процесса регулирования. Основным недостатком П-регулятора яв­ляется наличие остаточного отклонения регулируемого параметра, что снижает точность регулирования.

Интегральными, или астатическими, на­зываются регуляторы, у которых при отклонении регулируемого параметра от заданного значения регулируемый орган переме­щается до тех пор, пока регулируемый параметр не вернется к за­данному значению. В таких регуляторах скорость перемещения ре-

Рис. 63. Структурная схема регулятора

Рис. 64. Характеристики переходного процесса для различного типа регу­ляторов:

1 — отсутствие регулятора; 2 — П-регулятор; 3 — И-регулятор; 4 — ПИ-регулятор;

5 — ПИД-регулятор

гулирующего органа пропорциональна величине отклонения ре­гулируемого параметра от заданного значения: (dx)/(df) = — Т_иу. Проинтегрировав это выражение, получим

где T_и — постоянная времени, представляющая собой время, за которое регулирующий орган переместится из одного крайнего положения в другое при максимальном отклонении регулируемого параметра от заданного значения. Параметр T_и является показате- лем настройки И-регулятора.

И-регулятор достаточно точно поддерживает заданное значение регулируемого параметра, но процесс регулирования протекает достаточно медленно, поэтому его используют в объектах с боль­шим самовыравниванием, с незначительным запаздыванием и ма­лыми по величине отклонениями.

Пропорционально-интегральные, или изо-д р о м н ы е, регуляторы характеризуются тем, что при от­клонении регулируемой величины от заданного значения они вна­чале перемещают регулирующий орган пропорционально отклоне­нию (как П-регулятор), а затем при подходе регулируемой вели­чины к заданному значению медленно доводят ее до этого значения (как И-регулятор). Такое регулирование достаточно точно и бы­стродействующе.

Регулятор, действующий по такому принципу, называется ПИ-регулятором. Такие регуляторы действуют по следующему за­кону регулирования

где Kр — коэффициент передачи регулятора; Ти — время изодрома; KР и Ти — показатели настройки регулятора. Передаточная функ­ция ПИ-регулятора имеет вид

ПИ-регуляторы применяют в случаях, когда необходима боль­шая точность регулирования и быстродействие.

Пропорционально-интегрально - диффе­ренциальные регуляторы осуществляют закон регулиро­вания, в котором регулирующий орган перемещается пропорцио­нально отклонению, интегралу и скорости отклонения регулируе­мого параметра:

где K_Р — коэффициент передачи регулятора; T_и — время изодрома; Т_П — время предварения.

Параметры К_Р, Т_и, Т_П являются показателями настройки ПИД-регулятора. Передаточная функция такого регулятора имеет вид

ПИД-регуляторы сложнее других регуляторов в настройке, однако они могут обеспечивать более высокое динамическое ка­чество систем регулирования.

На рис. 64 для сравнения приведены характеристики П-, И, ПИ- и ПИД-регуляторов; на входе регуляторам приложено скачко­образное изменение возмущающего воздействия, объект управле­ния для всех регуляторов один и тот же. Показано, как изменяется регулируемая величина для регуляторов различного типа, а также при отсутствии регулятора. При П-регуляторе в установившемся режиме остается некоторое отклонение регулируемой величины от заданного значения, при И-регуляторе это отклонение сводится к нулю. ПИ- и ПИД-регуляторы обеспечивают лучшее динамиче­ское качество.

Регуляторы дискретного действия подразделяются на релей­ные и импульсные. В таких регуляторах регулирующий орган пе­ремещается через определенные промежутки времени. Регулирую­щий орган изменяет свое положение («Открыто-Закрыто», «Мин.-Макс.» и др.) при достижении регулируемым параметром некото­рых значений, именуемых пороговыми. Поэтому такие ре­гуляторы называют позиционными. Они бывают двух- или

трехпозиционными. Релейные регуляторы применяются при ма­лом запаздывании и большой постоянной времени объекта управ­ления.

В импульсных регуляторах содержится импульсный элемент, преобразующий непрерывное изменение регулируемого параметра в ряд импульсов, следующих друг за другом через определенные промежутки времени. Импульсы могут отличаться амплитудой, длительностью и знаком в зависимости от конструкции регулятора.

Импульсные регуляторы обычно применяют для регулирования медленно протекающих процессов в инерционных объектах со зна­чительным запаздыванием.

Задачей автоматической системы регулирования является под­держание заданных значений регулируемых величин технологиче­ского процесса или изменения их по определенному закону. В ре­зультате возникновения в системе возмущающих воздействий или изменения заданного значения регулируемой величины нарушается равновесие в системе, что вызывает переходный процесс, которыл приводит к новому равновесному состоянию. Характер переход­ного процесса определяется динамическими свойствами системы, в основе которых лежит понятие об ее устойчивости.

Устойчивость АСР.Устойчивостью называют способ­ность системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена в результате какого-либо воздействия.

Устойчивость является одним из основных показателей АСР, определяющих ее работоспособность. Поэтому при исследовании системы необходимо проводить анализ ее устойчивости. Автомати­ческая система будет устойчивой, если ее выходная величина ос­тается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной ве­личине входных воздействий. Система будет неустойчивой, если при сколь угодно малых отклонениях от состояния равновесия она не возвращается к нему, а совершает около него недопустимо боль­шие колебания или непрерывно удаляется от него. Такие системы не работоспособны.

Поведение автоматической системы регулирования при наличии в ней возмущающих и управляющих воздействий описывается диф­ференциальным уравнением

где а₀, a₁ . . . , а_п и b_о, b₁ . . . , b_m — постоянные коэффициенты. Процесс регулирования определяется решением этого диффе­ренциального уравнения (20), представляющего собой сумму част­ного решения неоднородного уравнения (20) с правой частью и об­щего решения уравнения (20) без правой части, т. е.

Первое слагаемое этого уравнения называется вынужденным решением (в случае y_част (t) = const это будет установившееся значение), а второе слагаемое — переходной составляющей.

Система будет устойчивой, если стечением времени при t переходная составляющая будет стремиться к нулю. Найдем эту составляющую из уравнения (20). Для этого необходимо решить характеристическое уравнение этой системы: а_орⁿ + а₁р^n-1 + . . . + + а_п-1p + а_п = 0. тогда общее решение уравнения (6—5) будет иметь вид:

где С_1; С₂ , . . . , С_п — постоянные коэффициенты; p_l р₂, . . . … , р_п — корни характеристического уравнения системы.

Так как по условию задачи величина y_общ(t) с течением вре­мени должна стремиться к нулю, то каждый член выражения (21) также должен стремиться к нулю. Для этого необходимо и доста­точно, чтобы вещественная часть (действительные корни могут рассматриваться как частный случай комплексных корней с нуле­вой мнимой частью) всех корней характеристического уравнения была отрицательной. В этом случае показатели степени всех экс­понент будут отрицательными, в результате чего с течением вре­мени абсолютные значения всех экспоненциальных слагаемых бу­дут стремиться к нулю.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную или равную нулю вещественную часть, соответст­вующая составляющая переходного процесса Cke^Pkt будет неогра­ниченно возрастать или совершать незатухающие колебания. Сле­довательно, система не сможет прийти в установившееся состояние, т. е. система будет неустойчивой.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос, устойчива или не­устойчива система, достаточно найти корни ее характеристического уравнения. Однако этим методом пользоваться во многих случаях практически невозможно, так как находить корни алгебраических уравнений высоких степеней очень трудно. Кроме того, найдя корни характеристического уравнения, мы определим, устойчива или неустойчива система, но не сможем установить, как нужно изменить параметры системы для обеспечения или повышения ее устойчивости, и представить себе, как те или иные параметры авто­матической системы влияют на ее устойчивость. Поэтому жела­тельно иметь критерии, спомощью которых можно судить об устой­чивости системы непосредственно по коэффициентам характеристи­ческого уравнения без вычисления корней. Поэтому в теории автоматического регулирования и инженерной практике широко применяют косвенные методы исследования системы автоматического регулирования на устойчивость. Такие критерии называются кри­териями устойчивости.

Критерии устойчивости АСР.Известны несколько таких крите­риев. Наиболее употребительны алгебраические критерии Рауса— Гурвица, основанные на рассмотрении системы неравенств, обра-

зуемых из коэффициентов характеристического уравнения, а также связанные с частотными представлениями критерии Михайлова и Найквиста.

Проверка устойчивости по критерию Рауса — Гурвица сводится к вычислению по коэффициентам характеристичес­кого уравнения так называемых определителей Гурвица, которые для устойчивой системы управления должны быть положительными. Иными словами, система устойчива, если опре­делители _{1; 2}, . . . , _n, составленные из коэффициентов урав­нения а_ор^п + а₁р^п-х + а₂р^п-2 + ...+ а_п-1р + а_п = 0, положительны при а_о>0.

Для получения определителей Гурвица составляется таблица из коэффициентов характеристического уравнения п-й степени:

Правила составления таблицы: по главной диагонали выписы­вают по порядку п коэффициентов характеристического уравнения от а₁ до а_п; каждая строка содержит п элементов; строки с нечет­ными и четными индексами чередуются; недостающие элементы строк заполняются нулями. Отчеркивая соответствующие строки и столбцы таблицы, получим п определителей Гурвица:

Условием устойчивости для систем первого порядка (п = 1) яв­ляется а₀ > 0, а₁ >0; второго порядка (n = 2)а_о>О, а₁>0, а₂>0; третьего порядка (п = 3) а_о>0, а₁>0, а₂>0, а₁а₂>а₃а₀.

Достоинством критерия устойчивости Payca—Гурвица являются

его сравнительная простота и небольшой объем вычислений при невысоком порядке дифференциального уравнения системы. Для систем более высокого порядка n 4 использование этого критерия затруднительно ввиду значительного объема вычислений. В таких случаях применяют другие критерии, использующие частотные характеристики АСР.

Критерий устойчивости Михайлова — это частотный критерий, основанный на построении по характеристи­ческому уравнению системы так называемой характеристической кривой, или годографа, по виду которой судят об устойчивости АСР.

Представим левую часть характеристического уравнения в виде функции от р, т. е. F (р) = а_ор^п + a₁p^n-1+ . . . +а_п-1p' +а_n.

Заменив р на j , получим уравнение комплексного вектора

Уравнение (22) можно свести к виду F (j ) = X ( ) + jY ( ), вектор его при изменении от 0 до опишет некоторую кривую, называемую годографом Михайлова, по виду которой можно су­дить об устойчивости системы.

Критерий Михайлова формулируют следующим образом: для устойчивости автоматической системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от 0 до , начиная с положительной вещественной оси, обошел после­довательно в положительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов комплексной плоскости.

На рис. 65, а годографы 1, 2 и 3 характеризуют устойчивые, годограф 5 — неустойчивые системы. Годограф 4 характеризует систему, находящуюся на границе устойчивости. Анализ АСР про­изводят в следующем порядке:

1) в характеристическом уравнении АСР заменяют р на j ;

2) члены с j