Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.

Теорема.Если функция неотрицательна в окрестности точки x0, то и ее предел при x®x0 тоже величине неотрицательная

 

. (3.9)

 

Доказательство ведем методом «от противного».

Предположим, что A < 0, т.е. – A > 0. В определении предела подразумевается, что в качестве ε можно выбрать любое положительное число. Возьмем , по нему найдем зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x0 - х½< d, справедливо . Раскроем модульное неравенство

 

 

Рассмотрим правую часть неравенства и перенесем А направо. Получим

 

 

или

 

.

 

Это означает, что функция отрицательна, что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если f (x) < g (x), то и . (3.10)








Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 694;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.