Методы исследования операций в управлении инновационными проектами

Рассмотрим особенности применения теории исследования операций на примере трех известных методик прогнозирования изменений неких переменных как функций времени:

- прогнозирование с использованием скользящего среднего;

- прогнозирование путем экспоненциального сглаживания;

- регрессионное прогнозирование.

Используем следующие основные обозначения:

y_t - действительное (или наблюдаемое) значение случайной величины y в момент времени t,

y^*_t - расчетное значение (оценка) случайной величины y в момент времени t,

e_t - случайный компонент (или шум) в момент времени t.

Прогнозирование с использованием скользящего среднего. При использовании этой методики основное предположение состоит в том, что временной ряд является устойчивым в том смысле, что его члены являются реализациями следующего случайного процесса:

y_t = b + e_t,

где b - неизвестный постоянный параметр, который оценивается на основе представленной информации. Предполагается, что случайная ошибка e_t имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию. Кроме того, предполагается, что данные для различных периодов времени не коррелированны.

Предполагает, что последние n наблюдений являются равнозначно важными для оценки параметра b. Другими словами, если в текущий момент времени t последние n наблюдений есть y_t-n+1, y_t-n+2 , ... , y_t, тогда оцениваемое значение для момента t+1 вычисляется по формуле:

y^*_t+1 = (y_t-n+1 + y_t-n+2 + ... + y_t) / n.

Не существует четкого правила для выбора числа n - базы метода, использующего скользящее среднее. Если есть весомые основания полагать, что наблюдения в течение достаточно длительного времени удовлетворяют модели y_t = b + e_t, то рекомендуется выбирать большие значения n. Если же наблюдаемые значения удовлетворяют приведенной модели в течение коротких периодов времени, то может быть приемлемым и малое значение n. На практике величина n обычно принимается в пределах от 2 до 10.

Пример 1.

В таблице представлены объемы спроса на некое изделие за прошедшие 24 месяца. Необходимо с помощью метода скользящего среднего дать прогноз объема спроса на следующий месяц (здесь t = 25).

Месяц t	Спрос y_t	Месяц t	Спрос y_t

Чтобы проверить применимость метода скользящего среднего, проанализируем приведенные данные. На рис. 20 нанесены значения временного ряда y_t. График показывает, что наблюдается тенденция к возрастанию значений y_t с течением времени. Это, вообще-то, означает, что скользящее среднее не будет хорошим предсказателем для будущего спроса. В частности использование большой базы n для скользящего среднего неприемлемо в этом случае, т.к. это приведет к подавлению наблюдаемой тенденции в изменении данных. Следовательно, если мы используем небольшое значение для базы n, то будем находиться в лучшем положении с точки зрения отображения упомянутой тенденции в изменении данных.

Если мы используем значение n = 3 в качестве базы скользящего среднего, то оценка спроса на следующий месяц (t = 25) будет равна средней величине спроса за 22, 23 и 24 месяцы:

y^*₂₅ = (62+70+72)/3 = 68 единиц.

Оценка величины спроса в 68 единиц для 25 месяца будет использоваться также при прогнозе спроса для t = 26:

Рис.20

y^*₂₆ = (70+72+68)/3 = 70 единиц.

Когда значение реального спроса в 25 месяце будет известно, его следует использовать для вычисления новой оценки спроса для 26 месяца в виде средней величины спроса 23, 24 и 25 месяцев.

Метод экспоненциального сглаживания предполагает, что вероятностный процесс определяется моделью y_t = b + e_t; это предположение использовалось и при рассмотрении метода скользящего среднего. Метод экспоненциального сглаживания разработан для того, чтобы устранить недостаток метода скользящего среднего, который состоит в том, что все данные, используемые при вычислении среднего, имеют одинаковый вес. В частности, метод экспоненциального сглаживания приписывает больший весовой коэффициент самому последнему наблюдению.

Определим величину a (0 < a < 1) как константу сглаживания, и пусть известны значения временного ряда для прошедших t моментов времени y₁, y₂, ... , y_t. Тогда оценка y^*_t+1 для момента времени t+1 вычисляется по формуле:

y^*_t+1 = ay_t + a(1 - a)y_t_-1 + a(1 - a)²y_t_-2 + ... .

Коэффициенты при y_t, y_t-1, y_t-2, ... постепенно уменьшаются, тем самым эта процедура приписывает больший вес последним (по времени) данным.

Формулу для вычисления y^*_t+1 можно привести к следующему (более простому) виду:

y^*_t+1 = ay_t + (1 - a){ay_t-1 + a(1 - a)y_t-2 + a(1 - a)²y_t-3 + ... } = ay_t + (1 - a)y^*_t.

Т.о., значение y^*_t+1 можно вычислить рекуррентно на основании значения y^*_t. Вычисления в соответствии с этим рекуррентным уравнением начинаются с того, что пропускается оценка y^*_t для t = 1 и в качестве оценки для t = 2 принимается наблюденная величина для t = 1, т.е. y^*₂ = y₁. В действительности же для начала можно использовать любую разумную процедуру. Например, часто в качестве оценки y^*₀ берется усредненное значение y_i по “приемлемому” числу периодов в начале временного ряда.

Выбор константы сглаживания a является решающим моментом при вычислении значения прогнозируемой величины. Большее значение a приписывает больший вес последним наблюдениям. На практике значение a берут в пределах от 0.01 до 0.30.

Пример 2.

Применим метод экспоненциального сглаживания к данным из прим. 1 при a = 0.1.

В таблице содержатся результаты вычислений. При вычислениях пропускается y^*₁ и принимается, что y^*₂ = y₁= 46 единиц.

i	y_i	y^*_i	i	y_i	y^*_i
		-			0.1´56+0.9´51.63 = 52.07
					0.1´54+0.9´52.07 = 52.26
		0.1´56+0.9´46 = 47			0.1´42+0.9´52.26 = 51.23
		0.1´54+0.9´47 = 47.7			0.1´64+0.9´51.23 = 52.50
		0.1´43+0.9´47.7 = 47.23			0.1´60+0.9´52.50 = 53.26
		0.1´57+0.9´47.23 = 48.21			0.1´70+0.9´53.26 = 54.93
		0.1´56+0.9´48.21 = 48.98			0.1´66+0.9´54.93 = 56.04
		0.1´67+0.9´48.98 = 50.79			0.1´57+0.9´56.04 = 56.14
		0.1´62+0.9´50.79 = 51.91			0.1´55+0.9´56.14 = 56.02
		0.1´50+0.9´51.91 = 51.72			0.1´52+0.9´56.02 = 55.62
		0.1´56+0.9´51.72 = 52.15			0.1´62+0.9´55.62 = 56.26
		0.1´47+0.9´52.15 = 51.63			0.1´70+0.9´56.62 = 57.63

Из приведенных данных следует, что оценка для t = 25 равна

y^*₂₅ = ay₂₄ + (1 - a)y^*₂₄ = 0.1´72 + 0.9´57.63 = 59.07 единиц.

Эта оценка значительно отличается от полученной с помощью метода скользящего среднего (68 единиц). Большее значение для a даст оценку, более близкую к оценке метода скользящего среднего.

Регрессионный анализ определяет связь между зависимой переменной (например, спросом на продукцию) и независимой переменной (например, временем). Часто применяемая формула регрессии, описывающая зависимость между переменной y и независимой переменной x, имеет вид:

Y = b₀+ b₁x + b₂x² + ... + b_nxⁿ + e,

где b₀, b₁, ... , b_n - неизвестные параметры. Случайная ошибка e имеет нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию (т.е. дисперсия случайной величины e одинакова для всех наблюдаемых значений у).

Самая простая регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная линейна относительно независимой переменной, т.е.

y^* = a + bx

Константы a и b определяются из временного ряда с использованием метода наименьших квадратов, в соответствии с которым находятся значения этих констант, доставляющих минимум сумме квадратов разностей между наблюденными и вычисленными величинами. Пусть (y_i, x_i) представляет i-ю точку исходных данных временного ряда, i = 1,2,...,n. Определим сумму квадратов отклонений между наблюденными и вычисленными величинами.

S = å (y_i – a - bx_i)²

ⁱ⁼¹

Значения коэффициентов a и b определяются из соответствующих условий минимума функции S, которые представимы в виде следующих уравнений.

¶S/¶a = -2å (y_i – a - bx_i) = 0

ⁱ⁼¹

¶S/¶b = -2 å (y_i – a - bx_i)x_i= 0

ⁱ⁼¹

После алгебраических преобразований получим следующее решение данных уравнений

_n __ _n _ _ _

b = (å y_ix_i – nyx) / (å x²_i- nx²) ; a = y - bx,

^{i=1 i=1}

где

_ _n_ _n

x = å x_i / n, y = å y_i / n.

ⁱ^{=1 i=1}

Приведенные соотношения показывают, что сначала необходимо вычислить b, а затем величину коэффициента a.

Вычисленные значения a и b имеют силу при любом вероятностном распределении случайных величин y_i. Однако если y_i является нормально распределенной случайной величиной с постоянным стандартным отклонением, можно установить доверительный интервал для среднего значения оценки при x = x⁰(т.е. для y⁰ = a + bx) в виде интервала

_________________________

__ / _ _

(a + b⁰) ± ta / 2, n-2 Ö å n_i= 1(y_i - y^*_i)² / (n-2) Ö 1/n + (x⁰ - x)² / (ån_i = 1x_i² - nx²)

Выражение (y_i - y^*_i) представляет собой отклонение i-го наблюдения зависимой переменной от его соответствующей оценки.

Мы заинтересованы в установлении для прогнозируемых значений зависимой переменной y соответствующих им интервалов предсказания (скорее чем доверительного интервала для среднего значения оценки). Как и следовало ожидать, интервал предсказания для значения прогнозируемой величины является более широким, чем доверительный интервал для среднего значения оценки. Действительно, формула для интервала предсказания такая же как и для доверительного интервала, но с той лишь разницей, что член 1/n под вторым квадратным корнем заменен на (n+1)/n.

Чтобы проверить, насколько линейная модель y* = a + bx соответствует исходным данным, необходимо вычислить коэффициент корреляции r по формуле:

____________________

_n__ / _n_ _n _

r = (åy_ix_i - nyx) / Ö (å x_i² - nx²)(åy_i² - ny²)

ⁱ⁼¹ⁱ⁼¹ⁱ⁼¹

где -1 £ r £ 1.

Если r = ± 1, тогда линейная модель идеально подходит для описания зависимости между y и x. В общем случае, чем ближе | r | к 1, тем лучше подходит линейная модель. Если же r = 0, величины y и x могут быть независимыми. В действительности равенство r = 0 является лишь необходимым, но не достаточным условием независимости, т.к. возможен случай, когда для двух зависимых величин коэффициент корреляции будет равен 0.

Пример 3.

Применим модель линейной регрессии к данным из примера 1, которые для удобства приведены в таблице

Месяц, x_i	Спрос y_i	Месяц x_i	Спрос y_i

Из данных этой таблицы получаем следующее

_{24 24 24 24 24}

å y_ix_i = 17842, å x_i = 300, å x²_i= 4900, å y_i = 1374, å y²_i= 80254.

^{i=1 i=1 i=1 i=1 i=1}

Следовательно,

x = 12.5, y = 57.25,

b = (17842 - 24´ 57.25´12.5)/(4900 - 24´(12.5)2),

a = 57.25 - 0.58´12.5 = 50.

Таким образом, оценка спроса представляется формулой

y* = 50 + 0.58x.

Например, при x = 25 получаем y* = 50+0.58´25 = 64.5 единицы.

Вычисляем коэффициент корреляции:

_________________________________

r = (17842 - 24´57.25´12.5) / Ö(4900 - 24´(12.5)²)(80.254 - 24´(57.25)²) = 0.493

Относительно малое значение коэффициента корреляции r указывает на то, что линейная модель y* = 50 + 0.58x является не совсем подходящей для исходных данных. Считается, как правило, что линейная модель подходит для исходных данных, если 0.75 £ | r | £ 1.

Предположим, что необходимо вычислить 95% доверительный интервал для полученной линейной оценки. Для этого надо сначала вычислить сумму квадратов отклонений от аппроксимирующей прямой. В таблице приведены результаты этих вычислений.

s	d	d*	(d - d*)
		50.58	20.98
		51.16	23.43
		51.74	5.11
		54.32	86.86
		52.90	16.81
		53.48	6.35
		54.06	152.77
		54.64	54.17
		55.22	27.25
		55.80	0.04
		56.38	87.98
		56.96	0.92
		57.54	12.53
		58.12	259.85
		58.70	28.09
		59.28	0.52
		59.86	102.82
		60.44	30.91
		61.02	16.16
		61.60	43.56
		62.18	103.63
		62.76	0.58
		63.34	44.53
		63.92	65.29
₂₄ å (y_i - y^*_i)² = 1088.70 ⁱ⁼¹

Табличное значение критерия Стьюдента t_0.025,22 = 2.074. Следовательно, искомый доверительный интервал имеет вид:

__________ _________________________________

(50 + 0.58x⁰)±2.074Ö1088.7/(24-2)Ö1/24 + [(x⁰ - 12.5)² / (4900 - 24´(12.5)²)].

Это выражение можно упростить, в результате получим следующее:

______________________

(50 + 0.58x⁰)±14.59Ö0.042 + [(x⁰ - 12.5)² / 1150.

Чтобы продемонстрировать применение этой формулы, вычислим интервал предсказания для оценки спроса на следующий месяц (x⁰ = 25). В этом случае коэффициент 0.042 должен быть заменен на (1.042)², и соответствующий интервал предсказания определяется как (64.5±15.82) или (46.68, 80.32). Следовательно, можно сказать, что с вероятностью 95% спрос для x = 25 будет находиться между 46.68 и 80.32 единицами.

Выше рассмотрены три метода прогнозирования хода инновационного проекта, основанных на теории исследования операций. Применимость каждого из них связана с характеристиками временного ряда, представляющего исходные данные. Ознакомиться с другими методиками прогнозирования можно, например, по […].

Сетевое планирование при управлении инновациями

При управлении инновационными проектами имеется ряд ключевых вопросов, на которые необходимо дать ответы. Это:

1) Сколько времени уйдет на выполнение проекта?

2) Есть ли вероятность отклонения от этой оценки?

3) Когда отдельные действия должны начинаться и заканчиваться?

4) Какие действия являются критическими при определении времени окончания проекта?

5) Какова гибкость прочих действий?

Эти вопросы могут быть проанализированы с помощью сетевых моделей, которые являются комплексом графических и расчетных методов, организационных мероприятий и контрольных приемов, обеспечивающих моделирование, анализ и динамическую перестройку выполнения сложных проектов, работ и алгоритмов. Основным элементом модели является сетевой график.

Преимущества такого подхода заключаются в следующем:

- сетевые графики являются относительно простыми инструментами, позволяющими управлять сложными проектами;

- сетевые графики позволяют принимать решения при перепланировании ресурсов, когда это необходимо;

- сетевые графики позволяют руководителю сверять ход выполнения проекта с контрольными сроками.

Однако на практике часто трудно оценить продолжительность действий в рамках проекта; или затруднительно определение взаимозависимости некоторых действий в рамках сложного проекта; или анализ нескольких видов необходимых ресурсов повышает сложность задачи.

Сетевое моделирование – это один из методов системного подхода к управлению сложными динамическими системами с целью обеспечения определенных оптимальных показателей. В основе сетевого моделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Дадим некоторые основные определения.

Граф – это схема, состоящая из заданных точек (вершин), соединенных определенной системой линий. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами (дугами) графа.

Теория графов оперирует понятием пути, под которым понимается такая последовательность ребер, когда конец каждого предыдущего ребра совпадает с началом последующего, т.е. конечная вершина каждой предыдущей дуги совпадает с начальной вершиной следующей дуги.

Сетевой график - это ориентированный граф без контуров, ребра которого имеют одну или несколько числовых характеристик. В сетевом графике различают два основных элемента: работу и событие.

Работами называются любые процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов (событий). Работа представляет собой процесс, происходящий во времени.

Событиями называются результаты произведенных работ. Событие конкретизирует процесс планирования, исключает возможность различного толкования итогов выполненных работ.

В сетевом графике событие изображается кружком, прямоугольником или другой геометрической фигурой, а работа – в виде прямой или дуги. Иногда на одном графике события обозначаются различными фигурами, чтобы выделить определенные этапы, например, технологического процесса.

Событие, которое не имеет предшествующих событий, называется исходным (начальным). Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель комплекса работ, включенных в данную сеть, называется завершающим (конечным).

Любая последовательность событий в сетевом графике называется путем. Путь между исходным и завершающим событиями в сетевом графике, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим.

Сетевые модели могут быть ориентированы на события или на работы. В сетях, ориентированных на события, вершинами графа являются результаты выполнения работ, т.е. операций, процессов или каких-либо иных действий. В сетях, ориентированных только на работы, вершинами являются работы, которые изображаются кружками или другими геометрическими фигурами, а пунктирными стрелками – связи между ними. Такими связями могут быть, например, технологические, ресурсные, организационные и др. связи.

В сетевых графиках, вершины которых обозначают события, работы обозначаются дугой между двумя событиями. Если дуга соединяет два события i и i+1, то работа обозначается как (i, i+1).

Сетевые оптимизационные модели обычно являются частными случаями моделей линейного программирования. Чаще всего они используются в задачах распределения ресурсов и составления расписаний. Хотя большинство сетевых задач можно решать методами линейного программирования, для их эффективного решения разработаны специальные методы, учитывающие структуру сетевых моделей.

Наиболее известные - метод критического пути (critical path method, сокращенно CPM), а также система планирования и руководства программами разработок (program evaluation and review technique, сокращенно PERT). В этих методах проекты рассматриваются как совокупность некоторых взаимосвязанных процессов (видов деятельности, этапов или фаз выполнения проекта), каждый из которых требует определенных временных и других ресурсов. В методах CPM и PERT проводится анализ проектов для составления временных графиков распределения фаз проектов.

Основные этапы выполнения этих методов обобщенно можно представить следующим образом. На первом этапе определяются отдельные процессы, составляющие проект, их отношения предшествования (т.е. какой процесс должен предшествовать другому) и их длительность. Далее проект представляется в виде сети, показывающей отношения предшествования среди процессов, составляющих проект. На третьем этапе на основе построенной сети выполняются вычисления, в результате которых составляется временной график реализации проекта.

Методы CPM и PERT, которые разрабатывались независимо друг от друга, отличаются тем, что в методе критического пути длительность каждого этапа проекта является детерминированной, тогда как в системе планирования PERT - стохастической. В настоящее время создано большое число модификаций сетевых методов.

Сетевое планирование начинается с составления перечня работ и оценок их продолжительности. Каждый процесс проекта обозначается в сети дугой, ориентированной по направлению выполнения проекта. Узлы сети (также называемые событиями) устанавливают отношения предшествования среди процессов проекта.

При этом работы изображаются стрелками, направление которых указывает продвижение работ по проекту (рис.21). События, соответствующие началу и завершению работ (или моменты времени), изображаются в виде узлов сети, которые нумеруются соответствующим образом.

Рис.21. Сетевой график проекта

Построение сети проекта построено на следующих правилах.

Правило 1. Каждый процесс в проекте представим одной и только одной дугой.

Правило 2. Каждый процесс идентифицируется двумя концевыми узлами.

Это означает, что участок сети вида

Работа 1

Работа 2

неверно отображает две одновременно завершающиеся работы. В такой ситуации участок сети должен иметь вид

Работа 1

Фиктивная работа

Работа 2

Фиктивная работа не требует ни времени, ни ресурсов; она вводится только для целей однозначности событий, связанных с завершением работ. Такой прием используется в ситуациях, когда работы 3 и 4 должны следовать за работой 2, но работа 1 не обязательно должна предшествовать работе 4, т.е.

Работа 1 Работа 3

Работа 2 Работа 4

Правило 3. Для поддержания правильных отношений предшествования при включении в сеть любого процесса необходимо ответить на следующие вопросы:

а) какой процесс непосредственно предшествует текущему;

б) какой процесс должен выполняться после завершения текущего процесса;

в) какой процесс конкурирует (выполняется параллельно) с текущим.

Соотношение предшествования – следования должны соблюдаться на всем протяжении сети. Предположим, например, что работа 6 следует за работами 4 и 2, которые, в свою очередь следуют за работой 3. Тогда участок сети

Работа 4

Работа 3

Работа 2 Работа 6

является правильным только в том случае, если работа 4 будет завершена прежде, чем может начаться работа 6.

Эти три правила иллюстрируются с помощью сети, представленной на рис. 21.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий построение сети проекта издания книги.

Издатель имеет контракт с автором на издание его книги. Ниже представлена последовательность (упрощенная) процессов, приводящих к реализации проекта издания книги. Необходимо разработать сеть для этого проекта.

Процесс	Предшествующий процесс	Длительность (недели)
А: Прочтение рукописи редактором В: Пробная верстка отдельных страниц книги С: Разработка обложки книги D: Подготовка иллюстраций Е: Просмотр автором редакторских правок и сверстанных страниц F: Верстка книги (создание макета книги) G: Проверка автором макета книги H: Проверка автором иллюстраций I: Подготовка печатных форм J: Печать и брошюровка книги	- - - - А, В Е F D G, H C, I

На рис. 22 показана сеть, представляющая взаимосвязь процессов данного проекта. Фиктивный процесс (2, 3) введен для того, чтобы “развести” конкурирующие процессы А и В. Номера узлов сети возрастают в направлении выполнения проектов.

Е-2 F-2 G-2

H-1

А-3 D-3 I-2

C-4 J-4

Рис. 2. Сеть проекта издания книги

Анализ методом критического пути заключается в использовании сетевых графиков при определении “критических” мероприятий проекта. Критические действия не гибкие и должны начинаться и заканчиваться вовремя для того, чтобы проект был завершен в срок.

Конечным результатом применения метода критического пути будет построение временного графика выполнения проекта. Для этого проводятся специальные вычисления, в результате чего получаем следующую информацию:

а) общая длительность выполнения проекта;

б) разделение множества процессов, составляющих проект, на критические и некритические.

Процесс является критическим, если он не имеет “зазора” для времени своего начала и завершения. Т.о., чтобы весь проект завершился без задержек, необходимо, чтобы все критические процессы начинались и заканчивались в строго определенное время. Для некритического процесса возможен некоторый “дрейф” времени его начала, но в определенных границах, когда время его начала не влияет на длительность выполнения всего проекта.

Для проведения необходимых вычислений определим событие как точку на временной оси, где завершается один процесс и начинается другой. В терминах сети, событие - это сетевой узел. Введем также следующие обозначения и определения.

Ÿ _j - самое раннее возможное время наступления события j;

D_j- самое позднее возможное время наступления события j;

D_ij - длительность процесса (i, j).

Вычисление критического пути включает два этапа (прохода). При проходе вперед вычисляются самые ранние времена наступления событий, а при проходе назад - самые поздние времена наступления тех же событий.

Проход вперед. Здесь вычисления начинаются в узле 1 и заканчиваются в последнем узле n.

Начальный шаг. Полагаем ₁ = 0; это указывает на то, что проект начинается в нулевой момент времени.

Основной шаг j. Для узла j определяем узлы p, q, ..., v, непосредственно связанные с узлом j процессами (p, j), (q, j),..., (v, j), для которых уже вычислены самые ранние времена наступления соответствующих событий. Самое раннее время наступления события j вычисляется по формуле

_j = max { _p + D_pj, _q + D_qj,..., _v + D_vj}.

Проход вперед завершается, когда будет вычислена величина ž _nдля узла n. По определению величина ž _j равна самому длинному пути (длительности) от начала проекта до узла (события) j.

Проход назад. В этом проходе вычисления начинаются в последнем узле n и заканчиваются в узле 1.

Начальный шаг. Полагаем D_n º _n; это указывает, что самое раннее и самое позднее времена для завершения проекта совпадают.

Основной шаг j. Для узла j определяем узлы p, q, ..., v, непосредственно связанные с узлом j процессами (p, j), (q, j),..., (v, j), для которых уже вычислены самые поздние времена наступления соответствующих событий. Самое позднее время наступления события j вычисляется по формуле

D_j = min {D_p - D_pj, D_q - D_qj,..., D_v - D_vj}.

Проход назад завершается при вычислении величины D₁ для узла 1.

Процесс (i, j) будет критическим, если выполняются три условия:

1. D_i= ž _i

2. D_j= ž _j

3. D_j - D_i = ž _j - ž _i= D_ij

Если эти условия не выполняются, то процесс некритический.

Критические процессы должны образовывать непрерывный путь через всю сеть от начального события до конечного.

Пример 1.

Найдем критический путь для сети проекта, показанной на рис. 23. Длительность всех процессов дана в днях.

Обозначения:

Проход вперед: ‘ ‘

Проход назад: D D

F Критический путь: O ® O

B 2 E 11

C G

5 1

Рис.23

Проход вперед.

Узел 1. Полагаем ‘ ₁ = 0.

Узел 2. ‘ ₂ = ‘ ₁ + D₁₂ = 0 + 5 = 5.

Узел 3. ‘ ₃ = max {‘ ₁ + D₁₃, ‘ ₂+ D₂₃} = max {0 + 6, 5 + 3}= 8.

Узел 4. ‘ ₄ = ‘ ₂ + D₂₄ = 5 + 8 =13.

Узел 5. ‘ ₅ = max {‘ ₃ + D₃₅, ‘ ₄ + D₄₅} = max {8 + 2, 13 + 0} = 13.

Узел 6. ‘ ₆ = max {‘ ₃ + D₃₆, ‘ ₄ + D₄₆, ‘ ₅ + D₅₆} = max {8 + 11, 13 + 1, 13 + 12} = 25.

Таким образом, расчеты показывают, что проект можно выполнить за 25 дней.

Проход назад.

Узел 6. Полагаем D₆ = ₆ = 25.

Узел 5. D₅ = D₆ - D₅₆ = 25 - 12 = 13.

Узел 4. D₄ = min {D₆ - D₄₆, D₅ - D₄₅} = min{25 - 1, 13 - 0} = 13.

Узел 3. D₃ = min{D₆ - D₃₆, D₅ - D₃₅} = min{25 - 11, 13 - 2} = 11.

Узел 2. D₂= min{D₄ - D₂₄, D₃ - D₂₃} = min{13 - 8, 11 - 3} = 5.

Узел 1. D₁ = min{D₃ - D₁₃, D₂ - D₁₂} = min{11 - 6, 5 - 5} = 0.

Вычисления без ошибок всегда приводят к результату D₁ = 0.

Результаты вычислений, выполняемых при проходах вперед и назад, показаны на рис. 3. Правила определения критических процессов показывают, что критический путь составляют процессы 1®2®4®5®6, т.е. этот путь проходит от начального узла 1 до конечного узла 6. Сумма длительностей критических процессов (1, 2), (2, 4), (4, 5) и (5, 6) равна длительности всего проекта (т.е. 25 дней). Отметим, что процесс (4, 6) удовлетворяет первым двум условиям критического пути (D₄ = ₄ = 13 и D₆ = ₆ = 25), но не удовлетворяет третьему условию ( € ₆ - ₄ ¹ D₄₆). Поэтому данный процесс не является критическим.

Общая продолжительность проекта является важным фактором при управлении проектами, требующими проведения большого количества мероприятий. Общую продолжительность можно рассчитать по сетевому графику при условии, что известна продолжительность каждого мероприятия, требуемого в соответствии с проектом (график Гантта).

На графике Гантта отмечается время начала и окончания действия и с его помощью легко увидеть, какие из действий должны проистекать в любой временной точке. График Гантта особенно полезен при управлении проектом и планировании ресурсов. Напомним, что _iдля процесса (i, j) указывает на самое раннее время начала этого процесса, D_j - на самое позднее время завершения процесса. Таким образом, пара величин ( _i, D_j) ограничивает максимальный интервал времени, в течение которого может выполняться процесс (i, j).

Пример 2.

Построим временной график проекта из примера 1 (рис. 23).

Предварительный временной график проекта можно начертить, используя максимальные интервалы выполнения каждого процесса. В результате получим график, представленный на рис. 24. Сделаем два замечания.

1. Критические процессы (показаны на графике сплошными линиями) располагаются последовательно друг за другом без временных зазоров и перекрытий. Таким образом, их суммарная длительность равна длительности выполнения всего проекта (здесь 25 дней).

2. Некритические процессы (показаны на графике пунктирными линиями) представлены максимальными интервалами выполнения, которые превышают реальную длительность выполнения этих процессов. Поэтому необходимо каким-то образом определиться с началом выполнения этих процессов.

Как выбрать время начала выполнения некритического процесса? Обычно предпочитают начинать некритические процессы (по возможности) в самый ранний срок. В этом случае остается запас времени (остаток максимального интервала выполнения), который можно использовать для решения неожиданно возникших во время выполнения процесса проблем. Вместе с тем при необходимости можно перенести начало выполнения какого-либо процесса. Допустим, если в нашем примере во время выполнения процессов E и F (рис.24) используется одно и то же оборудование, причем в каждый момент времени его можно задействовать только для одного процесса, тогда можно исключить временное наложение этих процессов, начав процесс F после завершения E.

А - 5

Критические

D - 8 процессы

G - 12

B - 6

Некритические

C - 3

E - 2 процессы

F - 11

H - 1

5 10 15 20 25

Дни

Рис.24

Если на некритические процессы не накладываются какие-либо дополнительные ограничения, и все они начинаются в самый ранний момент времени, то временной график проекта строится автоматически. Однако в этом случае могут нарушаться некоторые отношения предшествования. В частности, в примере (см. рис.3) процесс С должен быть завершен до начала процесса Е. Но максимальные интервалы времени выполнения этих процессов перекрываются, поэтому и реальные интервалы времени их выполнения также могут перекрываться. Поэтому необходимо предусмотреть какие-нибудь “красные флажки”, которые автоматически указывали бы, когда тот или иной процесс может начинаться без нарушения отношений предшествования с другими процессами.

Определение запасов времени. Запас времени некритического процесса - это часть максимального интервала времени выполнения этого процесса (который больше реальной длительности процесса). Различают общий запас времени и свободный запас времени процесса.

На рис. 25 показана разность между этими запасами времени процесса (i, j) - общим (TF_ij) и свободным (FF_ij). Общий запас времени процесса (i, j) определяется как превышение над длительностью выполнения этого процесса интервала времени от самого раннего момента осуществления события i до самого позднего времени осуществления события j, т.е.

TF_ij = D_j- _i- D_ij.

Свободный запас времени процесса (i, j) определяется как превышение над длительностью выполнения этого процесса интервала времени от самого раннего момента осуществления события i до самого раннего времени осуществления события j, т.е.

FF_ij = _j - _i- D_ij.

По определению FF_ij £ TF_ij.

Правило “красного флажка”. Для некритического процесса (i, j)

а) если FF_ij = TF_ij, тогда данный процесс может выполняться в любое время внутри максимального интервала ( _i, D_j) без нарушения отношений следования;

б) если FF_ij< TF_ij, тогда без нарушения отношений следования данный процесс может начаться со сдвигом, не превышающим FF_ij, относительно самого раннего момента начала процесса _i. Сдвиг начала процесса на величину времени, превышающую FF_ij (но не более TF_ij), должен сопровождаться равным сдвигом относительно всех процессов, начинающихся с события j.

TF_ij = D_j - ™ _i - D_ij

FF_ij = € _j - € _i - D_ij

i j

D_ij

i j

Рис.25

Это правило означает, что некритический процесс (i, j) помечается “красным флажком” только тогда, когда FF_ij < TF_ij. Этот флажок принимается во внимание при сдвиге начала процесса относительно самого раннего времени на такую величину, при которой следует рассчитывать сдвиг процессов, следующих из узла j.

Пример 3.

Вычислим запасы времени для некритических процессов в сети проекта из примера 1 и на основе этих расчетов построим окончательный временной график проекта.

Общие и свободные запасы времени некритических процессов представлены в таблице. Такие расчеты можно проводить непосредственно на сети проекта, как показано на рис.25.

Некритический процесс	Длительность процесса	Общий запас времени (TF)	Свободный запас времени (FF)
В(1, 3)		11 – 0 – 6 = 5	8 – 0 – 6 = 2
С(2, 3)		11 – 5 – 3 = 3	8 – 5 – 3 = 0
Е(3, 5)		13 – 8 – 2 = 3	13 – 8 – 2 = 3
F(3, 6)		25 – 8 – 11 = 6	25 – 8 – 11 = 6
H(4, 6)		25 – 13 – 1 = 11	25 – 13 – 1 = 11

Правило “красного флажка” следует применять только к процессам B и C, поскольку для них FF < TF. Оставшиеся процессы (E, F, H) имеют FF = TF, поэтому они могут выполняться в любое время внутри своих максимальных интервалов времени выполнения.

Рассмотрим процесс В, помеченный “красным флажком”. Поскольку для этого процесса TF = 5 дней, он может начаться в любой день из интервала 0 - 5 дней от начала выполнения всего проекта (рис.3). Но если FF = 2 дня, то, поскольку процесс В начнется в 0-й, 1-й или 2-й день от начала выполнения проекта, это не окажет никакого эффекта на последующие процессы E и F. Однако, если процесс В начнется в (2 + D)-й день (2 + D < 5), начало выполнения процессов Е и F необходимо сдвинуть от самого раннего срока их начала (8-й день от начала выполнения проекта) на величину, не меньшую D; только при таком условии не нарушатся отношения следования между процессами B, E, F.

Для помеченного “красным флажком” процесса С имеем FF = 0. Это означает, что любой сдвиг начала выполнения этого процесса должен сопровождаться таким же (не меньшим) сдвигом начала выполнения процессов E и F.

В случае ИП задачами распределения ресурсов, по существу, являются задачи определения сроков исполнения проекта, при которых возможно либо выравнивание потребности в ресурсах при соблюдении ограничений на длительность выполнения проекта, либо минимизация длительности выполнения проекта при ограничениях на трудовые ресурсы, либо минимизация общей стоимости ресурсов и штрафов за задержку выполнения проекта. Решение последней из перечисленных задач с помощью моделирования приводится в работе /20/. Наибольшее внимание, однако, уделялось первым двум задачам. Ввиду их комбинаторного характера возможность получения оптимальных решений средствами математического программирования очень ограничена. Саудер убедился в неэффективности использования алгоритмов целочисленного и булевого программирования, т.к. они не сходятся при разумной длительности счета. Были предложены алгоритмы, основанные на методе ветвей и границ, применимые, однако, только для сетей с числом узлов меньше 50 /11/.

Ввиду отсутствия успеха в области создания методов оптимизации основное внимание уделялось развитию эвристических методов, позволяющих получить приемлемое решение при некоторых разумных правилах установления приоритета работ, выполняемых с использованием ресурсов, на которые существуют ограничения. Эти методы делятся на “последовательные” и “параллельные” в зависимости от того, устанавливается ли приоритет до начала составления графика выполнения проекта или постепенно в процессе составления графика. Хотя большинство опубликованных исследований посвящено параллельным методам, относительная ценность каждого из них все еще не установлена. Дэйвис /11/ дал подробный обзор работ в этой области и оценку большого числа эвристических методов установления приоритета работ в процессе календарного планирования. Его основной вывод заключается в том, что, хотя ни один из эвристических подходов не может всегда давать наилучший график, правило упорядочения, в соответствии с которым первой выполняется работа с наименьшим резервом (или эквивалентное правило минимизации самого позднего времени начала), в среднем дает наилучшие результаты.

Часто возникает необходимость оценить вероятность того, будет ли отдельная работа, некоторая совокупность работ или проект в целом закончены к определенному сроку. Подобная формулировка задачи, которая была основой при первоначальной разработке метода PERT, предполагает использование трех видов оценок длительности каждой работы в сети: t_o- оптимистической оценки длительности, t_m- модальной оценки, т.е. оценки наиболее вероятной длительности, tp - пессимистической оценки длительности. Предполагается, что гипотетическое распределение фактической длительности выполнения работы описывается b-распределением. Математическое ожидание t_e и дисперсия s_iдля b-распределения, определяющиеся выражениями t_e= (t_o + 4t_m + t_p)/6, s_i = [(t_p - t_o)/6}², могут быть вычислены для каждой работы сети. В этом случае ожидаемое время завершения T_eвсего проекта находится как сумма величин t_e (которые аналогичны длительностям работ при использовании метода критического пути) для работ, составляющих путь наибольшей длины через сеть. Далее для любого подмножества критических работ S могут быть вычислены доверительные границы длительности по следующей формуле (которая основана на центральной предельной теореме для суммы независимых случайных величин):

______

T_c,s = å(t_e)_j± KÖ å(s_i)_j,

^j^Î^{S j}^Î^S

где K - константа, зависящая от степени достоверности (K=3 для степени достоверности 99.7%, K=2 для степени достоверности 95% и т.д.). Обычно “оптимальным” считается такой план выполнения проекта, для которого T_c,s £ DC_s, где DC - желательный срок завершения множества работ S. Для сетевых графиков, которые не удовлетворяют этому критерию, можно прибегнуть к перераспределению ресурсов с ненапряженных работ на критический путь, к увеличению затрат или более радикальным способам перепланировки проекта, пока не будет удовлетворено требование по этому критерию.

Следует заметить, что все сказанное выше основывается на предположении, что цель заключается в оценке времени завершения проекта. В большинстве случаев это соответствует действительности. Однако, если руководитель проекта считает, что заданный срок окончания легко достижим, например T_c,s значительно меньше D_cs, тогда кроме обычного резервного времени (определяемого критическим путем) возникает дополнительное “свободное” резервное время, обусловленное тем, что T_c,s меньше D_cs.

Многие проекты научных исследований и разработок часто подвержены действию случайных факторов, т.е. состав работ, выполняемых после завершения некоторого этапа, может изменяться в зависимости от некоторых условий. Например, химик, занимающийся синтезом и испытанием нового инсектицида, должен сознавать, что возможно несколько результатов: неудача, испытания прошли нормально, получен уникальный результат. Каждый из этих результатов может привести к необходимости выполнения ряда последующих работ. Поэтому, если используется метод PERT или критического пути, результирующая сеть, изображающая все связи между работами над первичным проектом, будет большой и громоздкой. При этом существует вероятность того, что с помощью одной схемы не удастся полностью отобразить проект. Задачи этого типа можно изобразить с помощью сетей типа дерева с точками принятия решений (рис.26).

Р=0.6 Работа 3

Работа 1 Работа 2

Р=0.3 Работа 4 Работа 6

Р=0.1 Работа 5 Р – вероятность исхода

- точка принятия решения

Рис.26. Сеть с возможными путями

Заметим, что резервы времени 4-6 и 5-6 являются условными: если в узле 3 получен результат такой, что выбирается работа 3 или работа 5, то весь проект сокращается на соответствующую одному из имеющихся резервов величину. Все прочие расчеты сети производятся так же, как описано ранее, за исключением того, что результаты этих вычислений должны учитывать вероятность соответствующего результата. Например, на рис.6 ожидаемое время завершения в узле 7 следует вычислять по формуле: t_e⁶+ (0.6t_e³ + 0.3t_e⁴ + 0.1t_e⁵) + t_e² + t_e¹, где t_e^j - математическое ожидание длительности j-й работы.

Рассмотренные выше сетевые методы могут быть применены к планированию нескольких проектов, руководство которыми осуществляется одной организацией. Рассмотрим, например, портфель из четырех проектов научных исследований (рис.27).

Рис. 27.Сетевой график для комплексной программы

Как видно из рисунка, проект А должен быть завершен до того, как сможет начаться проект В (например, проект А должен произвести сырье для проекта В). Проект X и проект Y могут начаться и закончиться в любое время в интервале между моментами а и е. Таким образом, пунктирные линии на рис.27 отображают лишь фиктивные зависимости и служат для того, чтобы указать общий диапазон времени для всех четырех проектов. На этих фиктивных связях, если они имеются, можно проставить длительности выполнения проектов и таким путем получить ранний срок начала и поздний срок окончания проекта. Резервное время для отдельных проектов, образующееся за счет этих фиктивных работ, можно использовать так же, как фиктивные работы в сетях для автономного проекта.

Предположим, например, что проекты В и X используют одни и те же ресурсы и что потребность в этих ресурсах превышает их наличие в случае необходимости одновременной реализации проектов В и X. Из рис.27 видно, что начало проекта X можно задержать до момента d, сосредоточив все ресурсы полностью на проекте В. После того как проект В будет завершен, эти ресурсы можно будет использовать для выполнения проекта X.

Другая возможность состоит в том, чтобы оба проекта использовали эти ресурсы с пониженной интенсивностью и при этом оба проекта будут задерживаться (на столько, чтобы не выйти за пределы момента е). Процедуры ускорения выполнения работ за счет повышения затрат, описанные выше, могут быть применимы и к отдельным проектам. Т.о., методы сетевого планирования для комплексных проектов полностью аналогичны сетевым методам, применяемым для отдельных проектов.

Существует, однако, еще один важный аспект планирования комплексных работ - приоритет отдельных проектов. Предположим, что проект X (рис.27) считается наиболее “важным” из всех проектов. Могут, например, существовать веские основания для того, чтобы руководитель считал необходимым сначала начать данный проект, а не любой другой. Одной из таких причин могла бы быть опасность конкуренции. Приоритетность отдельных проектов может использоваться в качестве весового множителя при календарном планировании и распределении ресурсов между конкурирующими проектами в системах комплексных проектов.

Вообще говоря, последовательные изменения в сетевых графиках проектов позволят руководителям на уровне проекта и на уровне отдела создавать интегрированные планы. Руководитель каждого проекта может представить на рассмотрение оптимальный сетевой график. Эти графики могут быть затем объединены в одну сеть комплексного проекта, на основе чего разработано несколько графиков для комплексного проекта при различных предположениях относительно приоритетов, ресурсов и т.п. Эти варианты графиков выполнения комплексного проекта могут быть затем обсуждены на совещаниях сотрудников, проводимых каждым руководителем отдельного проекта и руководителем комплексного проекта, например заместителем директора фирмы по научно-исследовательской работе. После этого, исходя из результатов обсуждения всех составных частей и высказанных при этом замечаний, может быть выбран наилучший сетевой график комплексного проекта. Прежде чем будет разработан приемлемый общий план работ, может потребоваться несколько последовательных итераций разработки графика работ между уровнем управления отдельным проектом и уровнем комплексного проекта.

Выше были рассмотрены различные приемы, призванные помочь в управлении ИП. Эти приемы сводятся в основном к проведению анализа с помощью сетевых графиков. В процессе этого выполняются следующие действия:

- составляется сетевой график, отображающий весь проект и его составные части;

- проводится анализ методом критического пути. При этом определяется оценочная продолжительность отдельных действий и анализируется степень подвижности каждого из действий. Действия, не имеющие подвижности, считаются критическими. Продолжительность таких действий нельзя изменить без ущерба для продолжительности всего проекта. Другие действия, которые не оказывают немедленного воздействия на продолжительность проекта, считаются не критическими. Такого рода анализ отдельных действий проводится с помощью сетевых графиков;

- проводится распределение ресурсов. Составление графиков (диаграмм) Гантта на основе сетевых графиков позволяет руководителю проанализировать ресурсы, необходимые для выполнения проекта. При недостатке ресурсов можно с помощью графиков Гантта перепланировать действия;

- анализируется возможность сокращения сроков. В процессе перепланирования проекта, возможно, потребуется сократить сроки отдельных действий, в результате этого могут измениться ресурсные и стоимостные показатели проекта. Следовательно, руководитель может проанализировать, какие действия сократить по срокам с учетом увеличения расходов и воздействия на продолжительность проекта. Такого рода анализ можно провести с помощью сетевых графиков;

- для того чтобы более реалистично оценить проект, анализируется возможный диапазон продолжительности каждого действия, такой анализ проводится методом PERT, который заключается в вероятностной оценке проекта.

Применение компьютерных систем при составлении сетевых графиков и проведении соответствующего анализа способствует повышению уровня возможной сложности при рассмотрении конкретных проектов.

Большинство программ способны планировать графики для больших (до 1000 работ) проектов со многими ресурсами. Эти программы включают, как правило, средства для расчленения работ, составления расписания в пределах допустимого колебания уровня ресурсов, учета стоимости работ, различные средства составления отчетов, несколько эвристических правил упорядочения и выравнивания ресурсов. Наиболее распространены такие специализированные пакеты управления проектами как Project Expert и MS Project, кроме того, в больших системах управления, типа ERP-систем существуют специальные блоки, позволяющие управлять проектами; можно использовать возможности электронных таблиц. Ниже, в гл. 9 мы подробнее рассмотрим возможности упомянутых прикладных програм

<13 141516 17 18 19 >

Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1120;