Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, над взять бесконечно малый объем V, определить по­ток вектора Е сквозь замкнутую поверхность

Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, над взять бесконечно малый объем V, определить по­ток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему.

В декартовой системе координат

Дивергенция поля Е связана с плотностью заряда ρ в той же точке уравнением

Векторный дифференциальный опера­тор («набла»). В декартовых координатах он имеет вид

Имеет смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножа­ется.

это div E. Теорема Гаусса в операторной форме имеет вид

Теорема о циркуляции вектора Е.

Электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов является консерва­тивным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а за­висит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает Элементарная работа сил поля на перемещение пробного положительного заряда из точки 1 заданного поля Е в точку 2 на пути dl равна Е dl, a вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяет­ся как

Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют линейным. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е. По произволь­ному замкнутому пути этот интеграл равен нулю.

Циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е.

(теорема о циркуляции векто­ра Е.)

Работа сил поля при перемещении единичного положи­тельного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками и равна

где φ₁ и φ₂ — значения функции φ в точках 1 и 2. Эта величина φ(r) называется потенциалом поля. Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы в поле,а потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии еди­ничного положительного заряда в данной точке поля.

Элементарная убыль потенциала на этом перемеще­нии есть

Потенциал поля неподвижного точеч­ного заряда:

интегрируя ,получаем потенциал поля точечного заряда

Потенциал системы неподвижных точечных зарядов

r_i — расстояние от точечного заряда q_i до интересующей точки поля.

Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то

.

Если заряды расположены только на поверхности S, то

Связь между потенциалом и вектором Е

Величина, в скобках это градиент потенциала φ (grad φ или ).

т. е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Эквипотенциальные поверхности.

Эквипо­тенциальной поверхности -поверхности, во всех точках которой потенциал φ имеет одно и то же значение. Там, где эти поверхно­сти расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.

Вектор Е всюду нормален к эквипотен­циальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Пунктиром показаны — эквипотенциали, сплошными линиями — линии вектора Е.

Электрический диполь.Поле диполя.

Электрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов + q и— q, находящихся на некотором расстоянии lдруг от друга.

Потенциал поля диполя в точке Р (рис.а)

определяется как

r>>l , r_- - r₊ = lcosθ , r_- ∙ r₊=r²

где р = ql — электрический момент диполя - вектор, направленный по оси диполя от отрица­тельного заряда к положительному:

Поле диполя

Проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления — вдоль ортов e_r и e_θ (рис. б):

модуль вектора Е

Сила, действующая на диполь, во внешнем неоднородном электрическом поле

Результирующая сила F, действующая на диполь, равна (рис. а):

или

В общем виде формула для силы, действующей на диполь в неоднородном электрическом поле:

Момент сил, действующих на диполь.

,

. При достаточно малом расстоянии между зарядами диполя

Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению внешне­го поля Е. Такое положение диполя является устойчивым.

Энергия диполя в поле.

Диэлектрики.Поляризация диэлектрика

Диэлектриками