Напряжения при поперечном изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l – длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (6.4).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dх (рис. 6.6 а).

Рис. 6.6

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии z от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.6 в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.6 б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади b×dx распределены равномерно, используя условие åx = 0, получим:

N^* - N^* - d N^* + t× b×dx = 0 ,

откуда

. (6.5)

где N^* - равнодействующая нормальных сил s×dA в левом поперечном сечении

элемента dx в пределах площади A ^* (рис. 6.6 г):

. (6.6)

С учетом (6.4) последнее выражение можно представить в виде

, (6.7)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.6 б эта область заштрихована).

Следовательно, (6.7) можно переписать в виде , откуда

. (6.8)

В результате совместного рассмотрения (6.7) и (6.8) получим

,

или окончательно

. (6.9)

Формула (6.9) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.6 г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси – dx, т.е. по оси x; по вертикальной оси – dz, т.е. по оси z; по оси y - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (6.4), а касательные напряжения t – по формуле Д.И. Журавского (6.9). С учетом закона парности касательных напряжений легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s_a и t_a, соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dA, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dA sin a и dA cos a соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.6 г), получим:

,

откуда будем иметь:

;

.

Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a₀ , при котором напряжение s_a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s_a от a и приравняем ее нулю:

.

Предполагая a = a₀ , получим: .

Откуда окончательно будем иметь: .

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения - главными напряжениями.

Сопоставляя выражения t_a и , имеем: , откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

В заключение с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы , определим главные напряжения, выражая из через s и t:

.

Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 6.5.

Условие прочности по касательным напряжениям будет иметь вид:

,

где _max– наибольшая по модулю поперечная сила;

– статический момент инерции верхней половины сечения.

При поперечном изгибе в произвольной точке балки (рис. 6.5, т. В) одновременно действуют как нормальные напряжения, так и касательные. Материал балки находится при плоском напряженном состоянии, поэтому для оценки прочности следует воспользоваться теориями прочности, например, третьей.

Эпюра эквивалентных напряжений, построенная для прямоугольного сечения, показана на рис. 6.5.

Для обеспечения прочности балки при совместном действии как нормальных, так и касательных напряжений и использовании третьей теории прочности должно выполняться условие

.