Прямая и обратная задачи для вертикального бесконечного стержня

Пусть на глубине h залегает вершина бесконечно длинного вертикального стерж- ня сечением s, однородно намагниченного вдоль оси z (рис.3.3). Его можно предста- вить как тело одного полюса m с интенсивностью намагничения I, направленной вдоль оси z, и магнитной массы m = Is. Так как нижний полюс расположен очень далеко, то его влиянием можно пренебречь и считать, что вся магнитная масса сосредоточена на вершине стержня. Поэтому поле этого стержня будет таким же, как и поле точечной массы, расположенной в центре его вершины, и решение прямой задачи можно полу- чить без вычисления интегралов (3.11).

Рис.3.3 Магнитное поле вертикального стержня (а) и шара (б)

Потенциал стержня определяют непосредственно из выражения для потенциала точечной массы [см. формулу (3.9)], т. е. Uст = m/μr = Is/μ(x2+z2)l/2, а аномальные вер- тикальная, горизонтальная составляющие и полный вектор напряженности магнитного поля

Z CT

=-¶U CT =

Ish

3 , H CT

=-¶U CT =-

Isx

¶z m( x 2 +h 2 ) 2

¶x m( x 2 +h 2 ) 2

(3.12)

TCT =

CT CT

На рис 3.3, а приведены графики ZCT, НCT, ТCT для I = IZ > 0.

При x = 0 Zmax= Tmax= Is/μh2, HX = 0, т. е. над стержнем наблюдаются одина- ковые максимумы ZСТ и ТСТ и нулевое значение НСТ. При х ® ± ∞ все составляющие стремятся к нулю. Путем подстановки в выражения (3.12) можно показать, что на гра-

фиках горизонтальной составляющей при

x =±h

2 имеются экстремумы. В точке x=-h

кривые ZCT и НCT пересекаются. Для точки графика ZCT, в которой Z1/2 = Zmax / 2, полу-

чаем следующее уравнение:

Z =Ish /( x 2

+h2

3

) 2 m=Is / 2h2 m.

1 2 1 2

При его решении получаем |x1/2|= 0.7h. Аналогично можно доказать, что абсцис- са точки, в которой T1/2 = Tmax /2, |x1/2| = h. Очевидно, что в плане (на плоскости (xOy) над вертикальным бесконечно длинным стержнем изодинамы ZCT и ТCT представляют собой практически совпадающие по интенсивности и знаку (положительные при I > 0) концентрические окружности с одинаковым максимальным значением напряженностей над их центром.

Обратную задачу магниторазведки для концентрических аномалий ZCT и TCT од- ного знака, соответствующих объектам типа вертикального стержня (штокообразные интрузии, кимберлитовые трубки и т. д.), решают следующим образом. Центр стержне- образного объекта залегает под экстремумами ZCT, TCT и перегибом (переход через ноль) графика НCT. При использовании приведенных выше данных решения прямой задачи глубину залегания верхней кромки стержня можно рассчитать по формулам

h = 1.3|xZ ½|, h = |xT ½|, h = 1,4|xH экс|, h = - xZH пер, (3.13)

где xZ ½, xT ½, xH экс, xZH пер—абсциссы точек на графиках, в которых ZСТ = Zmax / 2,

ТСТ = Тmax / 2, экстремум НСТ, пересечение графиков ZСТ и НСТ .

Зная глубину h, можно оценить величину магнитной массы m = Is по экстрему-

мам кривых магнитных аномалий

m = Zmax μh2, m = Tmax μh2, m = 3,67 Hmax μh2 (3.14)

Так как I ≈ χTcp, где Tcp — средняя напряженность геомагнитного поля, зная χ по измерениям магнитной восприимчивости образцов, легко получить площадь поверхно- сти стержня s=m/I.