Прямая и обратная задачи для вертикального намагниченного шара

Пусть вертикально и однородно намагниченный шар объемом V с центром на глубине h залегает под началом координат (рис.3.3, б). В теории магниторазведки дока- зано, что магнитное поле шара можно представить как поле диполя, помещенного в его центре. Поэтому потенциал шара получают непосредственно из формулы (3.8) заменой dV на V или из выражений (3.11), считая, что интеграл от dV по объему шара равен V. Так, на оси Оx (у=0) с учетом того, что cos θ = h/r (см. рис. 3.3, 6), потенциал

U Ш =

IVh

3

m( x 2 + h2 ) 2

Отсюда элементы аномального магнитного поля шара ΔZa=ZШ, ΔHa=HШ,

Z =-¶UШ

=IV( 2h

-x2 )

, H

=-¶UШ =

3IVhx ,

(3.15)

Ш ¶h

m(h2

5

+ x 2 ) 2

Ш ¶x

m(h2

5

+ x 2 ) 2

Из осевой симметрии задачи следует, что Hш — горизонтальная компонента поля по любому направлению.

Анализ формул (3.15) и построение по ним графиков (см. рис.3.3, б) показывает, что при х=0 (над центром шара) будут максимумы (при I >0) элементов поля Zmax=Tmax =2IV/μh3 и переход через нуль кривой Hш. Как и все элементы шара при х®

± ∞, составляющие Hш при х= 0 и Zш при x=xZ 0= | h

2 | равны нулю. При |x|>1,4h

Zш отрицательна, образуя минимумы при х= ± xZ min=2h, постепенно стремящиеся к

нулю. Таким образом, на графиках и на карте Zш будут аномалии двух знаков: положи-

тельные (при I > 0) над шаром и слабые отрицательные вокруг. На графике Hш будут

два экстремума при х= ± xH экс= 0,5h, а при xZ H nep= -0,56h графики Zш и Hш пересе-

каются. С помощью приема, рассмотренного при анализе магнитного поля стержня,

можно получить характерные точки. Половины максимальных аномалий (0,5Zmax и

0,5Tmax) будут соответственно при xZ ½ = ± 0,55h и xT ½ = ± 0,68h. Очевидно, что в

плане (на плоскости xOy) непосредственно над вертикально намагниченным шаром

изолинии Zш и Tш будут иметь вид концентрических окружностей с практически сов- падающими интенсивностями и знаками. На расстояниях, превышающих глубины за- легания, элементы Zш и Tш различаются и по интенсивности, и по знаку: аномалии Zш будут двух знаков, а Tш — одного. В целом вертикальная компонента, направленная вдоль намагниченности шара, оказывается более информативной, чем горизонтальная и полный вектор.

Обратную задачу магниторазведки для магнитных аномалий над геологическими объектами типа шара, которые создаются намагниченными геологическими объектами изометрической формы (брахиантиклинальные и брахисинклинальные структуры, ядра которых сложены породами с повышенными магнитными свойствами, интрузии, лак- колиты, массивные залежи железосодержащих руд осадочного происхождения, бокси- та, марганцевых руд и другие геологические тела), решают следующим образом. Центр шарообразной залежи залегает под экстремумами Zш, Tш и перегибом (переход через нуль) графика Hш. При использовании результатов решения прямых задач глубину за- легания центра вертикально намагниченного шара можно рассчитать через абсциссы характерных точек по формулам

h = 1,8 |xZ ½|, h = 0,5 |xZ min|, h = 0,7 |xZ 0|,

h = 1,5 |xT ½|, h = 2 |xH экс|, h = - 1,8 |xZ H пер|. (3.16)

Зная h, например, по усредненным значениям, полученным с помощью формул

(3.16), можно оценить магнитную массу и объем шара:

m = I·V = Zmax μh3/2=Tmax μh3/2, V = m / I ≈ m / χTСР

где χ — магнитная восприимчивость, известная по измерениям на образцах гор-

ных пород; TСР — средняя напряженность магнитного поля Земли в районе работ.