Метод фазовой плоскости

Состояние САУ в любой момент времени характеризуется значением выходной координаты и (n-1) ее производных. В результате образуется n-мерное пространство, которое называется базовым. Точка, указывающее текущее состояние системы, называется изображающей.

Переходному процессу в системе будет соответствовать перемещение изображающей точки по фазовой траектории. Множество фазовых траекторий для различных начальных условий называется базовым фазовым портретом САУ. Метод визуальный, поэтому наглядность обеспечивается только для 2-го порядка.

Уравнение 2-го порядка в нормальной форме Коши записывается в следующем виде:

Исключаем время (делим 2-е уравнение на 1-е):

Далее решаем это уравнение. Уравнение фазовой траектории будет иметь вид:

Исследуем линейную систему 2-го порядка методом фазовой плоскости:

Представим исходную систему в форме Коши:

Исключаем время:

В зависимости от расположения корней характеристического уравнения и различных соотношениях a₁ и a₂ получаем 6 видов фазовых портретов.

Название особой точки	Расположение корней	Фазовый портрет
1. Центр a1=0 a2>0
2. Устойчивый узел a1>0 a2>0
3. Неустойчивый узел a1<0 a2>0
4. Устойчивый фокус a1>0 a2>0
5. Неустойчивый фокус a1<0 a2>0
6. Седло a1=0 a2<0

Особая точка – это такая точка на фазовой траектории, где уравнение движения не определено (или направление).

Реальные системы считают линейными в окрестности рабочей точки. За пределами этой области, вследствие значительного отклонения характеристик от линейных, картина фазовых траекторий может стать качественно иной. В НС на фазовых портретах появятся дополнительные фазовые траектории называющиеся особыми линиями.

Особая линия – это замкнутая фазовая траектория, которая ограничивает области с различным поведением системы.

Имеет место 4 вида особых линий:

1. Устойчивый предельный цикл – замкнутая фазовая траектория, за пределами которой процесс сходится, а внутри расходится.

2. Неустойчивый предельный цикл - замкнутая фазовая траектория, за пределами которой процесс расходится, а внутри сходится.

3. Сепаратрисса – образована двумя особыми точками центр и 2 седла.

4. Зона застоя (такие линии характерны в системах с зоной нечувствительности и трением). Установившемуся состоянию соответствует не одна точка, а область. Особая точка вытягивается в особый отрезок.