Сходящихся сил методом проекций
Проекцией вектора на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора . Договоримся обозначать буквой О начало отсчета значений величин по оси, а буквами х, у, z—наименования осей; положительный отсчет вести по направлению от О к х (к у или к z), а отрицательный отсчет — в противоположную сторону. Пусть заданы сила и ось Ох (рис. 6, а). Проекция силы на ось Ох выражена длиной отрезка ab, где, как видно из рисунка, а—проекция точки А начала вектора = АВ и b—проекция точки В - конца вектора - на ось. Отсчет длины проекции (от а к b) в данном случае совпадает с положительным направлением оси, значит, проекция ab положительна.
Проекцию силы на ось условимся обозначать той же буквой P с добавлением индекса, обозначающего наименование оси, на которую сила проецируется, т. е. проекцию силы на ось х обозначим Px . Если обозначение силы имеет какой-нибудь индекс, то и у обозначения проекции этот индекс сохраняется; например, проекции силы или обозначаются соответственно P1x или P2x.
Из рис. 6, а видно, что Px = ab, но ab = AC, a из ∆ АСВ следует, что AC = Pcosa. Таким образом,
Px = Pcosα,
т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.
Выражение проекции силы через ее модуль является общим для какого угодно расположения силы относительно оси. Например, сила образует (рис. 6, б) с положительным направлением оси угол α , который π/2< α <π. Следовательно,
P1x = P1 cosα = P1 cos(π - β ) = - P1 cos β.
Итак, проекция P1x отрицательна, если отсчет длины проекции от точки а1 к точке b1 противоположен положительному направлению оси. Если α = 0 (рис. 6, в), т. е. сила параллельна оси и направлена в сторону положительного отсчета оси, то cos 0 =1 и поэтому P2x = P2cos 0 = P2, если угол α = π, т. е. сила параллельна оси, но направлена противоположно положительному отсчету оси, то cos π = - 1 и P3x = P3 cos π = —P3; если угол α = π /2, т. е. сила перпендикулярна оси, то cos (π /2) = 0 и P4x = = P4cos(π /2) = 0.
Рис. 6. Проекции вектора силы на ось.
При решении задач, в которых фигурирует плоская система сходящихся сил, как правило, необходимо определять проекции сил на две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу. Все сказанное о проекциях на ось Ох справедливо и для проекций сил на ось Оу.
Так, если сила (рис. 7) образует с положительным направлением
осей х и у соответственно углы α x = ( , x) и α у = ( , у), то
Pkx = Pkcоs αх и Pkу = Pkcos αy; но αy=( 90˚- α x), тогда Pkу=Pksin α x.
По заданным проекциям силы на оси может быть определен и сам вектор силы (ее модуль и направление).
Допустим, проекции Pkx и Pky силы известны, тогда из ∆ АСВ (рис. 7) видно, что модуль силы Pk = .
Рассмотрим теперь определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций. Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен многоугольник ABCDE, в котором вектор = — искомая равнодействующая данной системы (рис. 8). Выбрав систему координатных осей х и у в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси.
Проекции сил на ось х:
P1x = а1b1 , P2x = b1cl , P3x = c1d1 и P4x = d1e1 .
Проекции сил на ось у:
P1y = a2b2 , P2y = b2c2 , P3y = c2d2 и P4y = d2e2 .
Для наглядности проекции на рис. 8 показаны рядом с осями, несколько смещенными относительно них, причем положительные проекции вынесены выше (проекции на ось х ) или правее (проекции на ось у ), а отрицательные соответственно ниже или левее.
Одновременно с проецированием сторон силового многоугольника, равных заданным силам, получены и проекции равнодействующей:
Из рис.8 видно, что
Р = а1е1 = — a1b1 + b1cl + cl dl — d1e1; Р = а2е2 = a2b2 + b2c2 - c2 d2 — d2e2.
Выше было показано, что система сходящихся сил уравновешена тогда, когда ее равнодействующая =0. Очевиден факт, что в этом случае равны нулю ее проекции на координатные оси х и у , т.е. условие равновесия может быть записано в виде
Р = =0;
Р = =0.
Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.
Рис. 7. Определение силы
по заданным проекциям . Рис. 8. Определение равнодействующей
системы сходящихся сил методом проекций.
Эти формулы называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.
Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравнения. Эти уравнения позволяют определить две неизвестные величины. Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равновесия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсолютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 966;