Застосування законів збереження до опису руху частинки в центральному полі сил

Центральним полем є поле, в якому сила за абсолютною величиною залежить тільки від відстані до деякої певної точки (центра) в просторі. Направлена сила вздовж прямої, що з’єднує досліджувану частинку масою з центром (рис.71)

1. Поле центральних сил консервативне, тому повна механічна енергія частинки зберігається

2. Імпульс частинки не зберігається, оскільки .

3. Момент імпульсу частинки , визначений не відносно довільної точки простору, а саме відносно центра поля , зберігається

, оскільки .

Таким чином, зберігаються з часом величини і . Зробимо висновки.

Як вже було сказано . Зауважимо, що момент імпульсу залишається сталим і за величиною і за напрямком. Оскільки і , то внаслідок сталості напрямку при русі частинки її радіус-вектор весь час залишається в одній площині – площині, перпендикулярній до вектора . Таким чином, перший висновок полягає в тому, що траєкторія руху частинки в центральному полі цілком лежить в одній площині. Виберемо декартову систему координат так, щоб вектор співпадав з напрямом осі : . Тоді частинка рухається в площині .

Перейдемо до полярної системи координат . Як видно з рис.72, зв’язок полярних з декартовими координатами такий

Диференціюючи останні рівняння по часу одержимо

Знайдемо вираз в полярній системі координат

Оскільки , тоді проекції . Запишемо проекцію

Бачимо, що , оскільки і . Але величина є так звана секторіальна швидкість (площа сектора, що утворюється двома нескінченно близькими радіусами-векторами і елементом дуги траєкторії). Її легко знайти з рис.73

Тому другий висновок, який випливає із сталості моменту імпульсу, стверджує про те, що частинка буде рухатись із сталою секторіальною швидкістю (другий закон Кеплера).

Розглянемо в полярній системі координат вираз повної енергії частинки

Тут – радіальна швидкість , – азимутальна швидкість (рис.74). Якщо виразити через за допомогою рівняння

і підставити у вираз для енергії, то одержимо

Останній вираз показує, що рух частинки вздовж радіуса (радіальна частина руху) можна розглядати як одномірний рух частинки у потенціальному силовому полі, яке описується ефективною потенціальною енергією

Повний рух частинки можна уявити як такий, коли частинка рухається вздовж радіуса-вектора , а сам повертається.

Розв’язуючи рівняння відносно і відокремлюючи змінні, маємо

Дістаємо рівняння, яке визначає залежність від часу

Сталі і визначають за початковими значеннями координати і швидкості частинки.

За аналогією з аналізом одномірного руху частинки, дістаємо нерівність

яка визначає області зміни довжини радіуса-вектора частинки та можливі значення повної енергії . Для існування розв’язку рівняння необхідно, щоб повна енергія була більшою за найменше можливе значення ефективної потенціальної енергії . Рівняння

визначає значення , що відповідають точкам повороту. Оскільки при реальному русі частинки змінюється не тільки довжина , а і кут , то точки повороту в розглядуваному випадку не є точками зупинки частинки. Її швидкість в цих точках не обертається в нуль.

Щоб знайти залежність кута від часу, використаємо рівняння, яке визначає собою закон збереження моменту імпульсу

Якщо вважати відомою функцією часу, шляхом інтегрування виразу знайдемо .

Отже, знайдені

Шляхом виключення часу з останніх двох рівнянь знайдемо траєкторію частинки

Далі, інтегруючи, маємо

Для випадку фінітного руху, коли траєкторія частинки лежить в обмеженій області площини , тобто коли , радіальний рух завжди періодичний. Період цього руху можна визначити за формулою

де і визначаються рівняннями .

Для того, щоб рух частинки в цілому був періодичний, необхідно, щоб за ціле число періодів радіального руху кут описав ціле число циклів (рис.75). Тобто умовою періодичності буде . Тут і цілі числа. Ця умова і є умовою замкнутості траєкторії частинки при фінітному русі. Взагалі кажучи, ця умова для певної функції виконується тільки при певних значеннях сталих і . Але можна показати, що існують лише два центральних поля і (тут і – додатні сталі), для яких траєкторії частинок при фінітному русі завжди будуть замкнутими кривими. Фінітний чи інфінітний рухи буде виконувати частинка буде залежати від конкретного вигляду .