Рух частинки в полі . Задача Кеплера

Раніше, розглядаючи рух частинки в центральному полі шляхом розв’язування задачі в полярній системі координат із застосуванням тільки законів збереження енергії і моменту імпульсу, ми прийшли до виразу, яким визначалася б траєкторія руху частинки . Щоб знайти явну залежність , треба виконати інтегрування в рівнянні

Тут , де потенціальна енергія взаємодії має вигляд . Від’ємна величина відповідає притягуванню, а додатна – відштовхуванню.

Інтегруємо рівняння

Позначивши , дістаємо або

Тут знак перед одиницею „ ” відповідає притягуванню , „ ” відповідає відштовхуванню . Позначивши

, ,

одержимо рівняння траєкторії частинки

Проведемо спочатку якісний аналіз руху частинки.

1. Відштовхування

, .

Оскільки в даному випадку додатна, то як видно із рис.78 маємо тільки інфінітний рух

2. Притягування

, .

Як видно із рис.79 можливі такі рухи:

1) при – фінітний рух, еліпс. Із дослідження кривої на екстремум одержимо ;

2) при – інфінітний рух, парабола;

3) при маємо інфінітний рух, гіпербола.

Тепер докладніше розглянемо випадок притягування частинки центром . Траєкторія частинки визначається рівнянням конічного перерізу з фокусом в початку координат.

. Тут , .

– параметр; – ексцентриситет, – велика піввісь еліпса, – відстань від фокуса до середини відстані між фокусами.

З аналітичної геометрії відомо, що коли	Оскільки і всі величини під радикалом крім додатні, то маємо
, то траєкторія гіпербола	при
, то траєкторія парабола	при
, то траєкторія еліпс	при
, то траєкторія коло	при

Таким чином, розрахунки підтверджують якісні міркування, приведені вгорі (дивись рис.79).

Побудуємо (рис.80) функцію .

При буде – перигелій орбіти, найближча точка орбіти до фокуса, центра силового поля.

При , – перетин траєкторією осі .

При траєкторією буде еліпс, а оскільки , то це буде при .

Ексцентриситет характеризує витягнутість орбіти. Чим більший , чим ближчий до одиниці, тим орбіта більш витягнута вздовж .

При , при всіх кутах , тобто маємо коло, а це відповідає мінімуму ефективної потенціальної енергії

З аналітичної геометрії відомо, що велика піввісь . Це співвідношення легко довести: , . . Мала піввісь .

Підставимо в і вирази і . Отримаємо

;

Як бачимо, велика піввісь залежить тільки від енергії , мала піввісь залежить крім енергії ще і від моменту імпульсу . Величини відмінні від нуля, коли . при , тобто траєкторія вироджується у фінітний рух по прямій, що проходить через силовий центр.

Видно, що момент імпульсу визначає опуклість еліпса.

Визначимо тепер період обертання планети по орбіті. Відомо . Врахуємо, що . Тоді . Інтегруючи цей вираз знайдемо площу за період обертання, тобто площу еліпса, яка, як відомо, дорівнює .

Підставляючи вирази і і в вираз для періоду, будемо відразу знаходити

Підставляючи , одержуємо

Тобто видно, що . Тут – стала Кеплера. Це і є третій закон Кеплера. Отже, закони Кеплера є наслідками законів динаміки та закону всесвітнього тяжіння.