Рух твердого тіла з однією нерухомою точкою. Гіроскопи. Гіроскопічний ефект

Гіроскопом називається масивне симетричне тіло, яке обертається з великою кутовою швидкістю навколо своєї осі симетрії. Розглянемо поведінку гіроскопа на прикладі дзиги, у якої вісь обертання нахилена під кутом до вертикалі. Дослід показує, що при цьому дзиґа не падає, а її вісь описує конус з деякою кутовою швидкістю , тобто утворює прецесійний рух (прецесію). Виявляється також, що чим більша кутова швидкість власного обертання дзиги, тим менша кутова швидкість прецесії .

Така поведінка гіроскопа-дзиги легко пояснюється за допомогою рівняння моментів , якщо припустити, що (в цьому саме і полягає зміст обертання гіроскопа з великою кутовою швидкістю). Дійсно, момент і мпульсу прецесуючої дзиги відносно точки опори (рис.66) можна представити у вигляді суми моменту імпульсу , обумовленого обертанням дзиги навколо власної осі, і деякого додаткового моменту імпульсу , обумовленого прецесійним рухом дзиги навколо вертикальної осі, тобто

.

Тут , оскільки вісь гіроскопа співпадає з одною із головних осей інерції. – момент інерції гіроскопа відносно цієї осі.

Ясно, чим менша кутова швидкість прецесії, тим менша і величина відповідного моменту . При у всіх практично цікавих випадках виконується співвідношення , а тому результуючий момент імпульсу практично співпадає з як за величиною, так і за напрямком, тобто

.

Тоді, якщо знати поведінку вектора моменту імпульсу , то тим самим відомим буде і характер руху дзиги.

Але поведінка вектора визначається рівнянням моментів (5.7), з якого приріст цього моменту за час

.

співпадає за напрямком з вектором – моментом зовнішніх сил, визначеним відносно тієї ж точки (в даному випадку це момент сили тяжіння ). Із рис.66 видно, що . В результаті вектор (а значить і вісь дзиги) буде повертатися навколо вертикалі, описуючи конус з кутом при вершині . Це і є прецесія гіроскопа-дзиги з кутовою швидкістю .

Знайдемо зв’язок між векторами , і . Згідно з малюнком модуль приросту вектора за час дорівнює , або в векторному вигляді . Після підстановки цього виразу в одержимо

.

З цього рівняння випливає, що момент сил визначає кутову швидкість прецесії (а не прискорення). В цьому і полягає безінерційність прецесії.

Для знаходження кутової швидкості прецесії дзиги (рис.66), центр мас якої знаходиться на відстані від точки опори, скористаємось рівнянням

.

Звідси отримуємо

.

Цікаво, що величина не залежить від кута нахилу осі дзиги та обернено пропорційна кутовій швидкості власного обертання дзиги.

Гіроскопічний ефект (момент) виникає при вимушеному обертанні осі гіроскопа. Нехай, наприклад, гіроскоп закріплено у -подібній підставці, яку ми будемо обертати навколо вертикальної осі , як показано на рис.67. Якщо момент імпульсу гіроскопа направлений вправо, то при такому обертанні за час вектор отримає приріст – вектор, який направлений за площину малюнка. Згідно з рівнянням це означає, що на гіроскоп діє момент сил . Цей момент утворює пара сил , які діють з боку підшипників на вісь. За третім законом Ньютона вісь буде діяти на підшипники з силами (рис.67). Ці сили називаються гіроскопічними, вони утворюють гіроскопічний момент . Відмітимо, що в даному випадку вісь гіроскопа не здатна змінити свій напрям під дією гіроскопічних сил, бо вона закріплена.

Прояв гіроскопічних сил, що і називають гіроскопічним ефектом, прослідкуємо на прикладі гіроскопа, вісь якого разом з рамкою може вільно обертатись навколо горизонтальної осі -подібної підставки (рис.68). При вимушеному обертанні гіроскопа навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю виникне гіроскопічний момент , обумовлений дією пари сил з боку осі на підшипники (рис.68). Ці сили викличуть поворот рамки навколо осі (правий бік рамки буде рухатися вгору). В результаті вісь гіроскопа буде повертатися з часом до того моменту, поки вектор не співпаде за напрямком з вектором .

Гіроскопічний ефект, зв’язаний з дією гіроскопічних сил з боку осі на підшипники, спостерігається, наприклад, у роторів турбін на кораблях та літаках під час виконання ними віражів. Лежить він в основі роботи гірокомпаса, гіроскопічного стабілізатора та інших пристроїв.