Плоский рух твердого тіла

При плоскому русі центр мас твердого тіла рухається в площині, сталій в деякій лабораторній -системі відліку, а вектор його кутової швидкості весь час перпендикулярний до цієї площини. Це означає, що в -системі тверде тіло утворює тільки обертальний рух навколо осі, що проходить через центр мас тіла. Обертальний же рух твердого тіла описується рівнянням , яке справедливе для любої системи відліку.

Тоді маємо наступні два рівняння, якими описується плоский рух твердого тіла

, .

Тут – маса тіла, – результуюча всіх зовнішніх сил, і – момент інерції і сумарний момент всіх зовнішніх сил відносно осі обертання, що проходить через центр мас.

Інтегруючи рівняння з врахуванням початкових умов, можна знайти залежності і , що визначатимуть положення твердого тіла в любий момент .

При розв’язку системи рівнянь часто використовується ще одне рівняння, обумовлене обмеженнями, які накладаються на рух зовнішніми причинами. Це рівняння встановлює кінематичний зв’язок між лінійним та кутовим прискореннями.

Приклад. Однорідний циліндр маси і радіуса скочується без проковзування по похилій площині, яка утворює кут з горизонтом (рис.62). Знайти прискорення руху циліндра.

Стандартний підхід до розв’язку задач такого типу полягає в наступному. Спочатку треба встановити всі сили, що діють на тіло і точки їх прикладання. В даному випадку це – сила тяжіння, – нормальна складова сили реакції, що діє з боку похилої площини, і – сила тертя спокою. Далі обирають напрями осі і узгодженої з нею осі обертання (дивись рис.62). І тільки після цього записують рівняння руху в проекціях на вибрані таким чином додатні напрями осей і

,

.

Крім цих рівнянь, умова руху циліндра без проковзування визначає ще кінематичний зв’язок між прискореннями:

.

Розв’язок системи цих трьох рівнянь дає можливість знайти прискорення і , а також силу :

, , .

Кінетична енергія при плоскому русі твердого тіла дорівнює

.

З правого боку рівняння перший член дорівнює , тут – маса всього тіла; другий член дорівнює нулю, а третій є кінетична енергія при обертанні тіла навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас, і згідно з дорівнює . З цими позначеннями одержуємо

.

Таким чином кінетична енергія твердого тіла при плоскому русі складається із енергії обертання тіла навколо власної осі (в -системі) і енергії переміщення тіла як цілого, зв’язаної з переміщенням центра мас.