Решение. 1. Определение передаточного отношения механизма.

1. Определение передаточного отношения механизма.

Выделим из механизма ступень с неподвижными осями, состоящую из колес z₁, z₂, z_2´, z₃ , z_3´, z₄, и планетарную ступень, состоящую из колес z_4´, z₅, z_5´, z₆ и водила Н (7);

а) для ступени с неподвижными осями

оси колес 1 и 4 непараллельные, поэтому знак передаточного отношения не определяем, а покажем направления вращения колес не­подвижной ступени в соответствии с правилом стрелок:

б) чтобы определить передаточное отношение планетарной ступени, используем формулу Виллиса; остановим водило Н (7), исполь­зуя зависимость (15.3), получим

колесо 6 неподвижно ( = 0), используя зависимость (15.4), получим

в) передаточное отношение всего механизма

Передаточное отношение планетарной ступени . Сле­довательно, водило Н (7) вращается в ту же сторону, что и колесо 4.

Покажем направление угловой скорости и углового ускоре­ния на чертеже стрелками. Поскольку , вращение ускоренное.

2. Угловая скорость и угловое ускорение ведомого звена 7 по модулю:

3. Определить время, в течение которого угловая скорость увеличивается вдвое:

Для ускоренного вращения

Отсюда

4. Для расчета момента инерции коническое ведущее ко­лесо со средним модулем m_m = 2 мм, z₁ = 18 заменим цилиндром с диаметром, равным среднему делительному диаметру:

С учетом сказанного масса определяется по формуле

где ρ – плотность, ρ = 8000 кг/м³ (по условию).

Вес колеса

Смещение центра масс (точка А на рис. 15.11) l = 2 мм = 0,002 м.

Нормальная составляющая силы инерции

Нормальное ускорение точки A

Касательное ускорение точки A и касательная составляющая силы инерции:

Определим полное ускорение точки А, силу инерции и направ­ление силы инерции:

В практических расчетах составляющей , как малой вели­чиной, можно пренебречь и считать, что Сравним силу тяжести и силу инерции:

Силой веса по сравнению с силой инерции при практических расчетах также можно пренебречь.

Момент сил инерции

Покажем направление всех векторных величин на чертеже.

5. Определение общего КПД механизма.

Здесь – КПД конической пары с учетом потерь в подшипниках.

– КПД цилиндрической пары (две пары по условию);

– КПД планетарной передачи.

РАЗДЕЛ 3

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 16. Напряженно-деформированное

СОСТОЯНИЕ детали

16.1. Метод сечений

Под внутренними силами будем подра­зумевать не их абсолютные значения, а только те приращения, которые вызваны действующими на тело нагрузками,

Для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам.

Основу для решения этой задачи дает метод сечений «Розу»:

Р – разрезаем тело плоскостью на две части;

О – отбрасываем одну часть;

З – заменяем действие отброшенной части внутренними силами;

У – уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

Применяя метод сечений, силы, являющиеся внутренними для тела в целом, переводят во внешние для одной из его частей, полученной в результате мысленно проведен­ного сечения.

Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил (рис. 16.1). Рассечем его на две части (I и II) некоторой произвольной плоскостью, перпендику­лярной его продольной оси, и отбросим од­ну из частей (например I) (рис. 16.2). Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть при­ведена к ее главному вектору и главному моменту, которые стати­чески эквивалентны заданной системе сил. Главный вектор системы – три составляющие по осям выбранной системы координат. Главный момент – три момента, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной из координатных осей.

Составляющие главного вектора и главного момента внутрен­них сил, возникающих в поперечном сечении бруса (рис. 16.3), носят название внутренних силовых факторов (ВСФ) в этом сечении. N_z – продольная (или нормальная) сила; Q_x, Q_y – поперечные силы; M_z – крутящий момент; Q_x, Q_y – изгибающие моменты (рис. 16.4).

Рис. 16.1. Внешние силы	Рис. 16.2. Внутренние силы
Рис. 16.3. Метод сечений	Рис. 16.4. Внутренние силы в произвольном сечении бруса

Имеют место следующие виды деформаций:

если – растяжение, или – срез;

если – кручение, или – изгиб.

Для определения каждого из внутренних силовых факторов на­до составить соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (см. рис. 16.4).

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось OZ бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части.

16.2. Напряжение как мера внутренних сил

Для суждения об интенсивности внутренних сил в определен­ной точке данного сечения введено понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую площадку пло­щадью ; допустим, что на этой площад­ке возникает внутренняя сила (рис. 16.5). Отношение этой внутренней силы к площади выделенной площадки называется средним напряжением в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению (на площадке ):

Рис. 16.5. Элементарная сила в точке сечения

Истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сече­ния

Отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть величина векторная (вектор делим на скаляр ); направление этого вектора совпадает с предельным направлением вектора .

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).

Паскаль – это напряжение, при кото­ром на площадке в 1 м² возникает внут­ренняя сила, равная 1 H; но эта единица очень мала, поэтому используется кратная ей единица – мегапаскаль, 1 МПа = 10⁶ Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по нор­мали к сечению (нормальное напряжение ), вторую – лежащую в плоскости сечения (ка­сательное напряжение ) (рис. 16.6). Между напряжениями р, и су­ществует следующая очевидная зависимость:

Рис. 16.6. Полное р, нормальное σ и касательное τ напряжения в точке

Рис. 16.7. Внутренние напряжения

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно коорди­натным осям (рис. 16.7):

.

Правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса. Элементарные внутренние силы:

;

;

.

Выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

; (16.1)

; (16.2)

. (16.3)

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:

;

;

.

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

; (16.4)

; (16.5)

. (16.6)

Выражения (16.1)–(16.6) не служат для вычисления внутренних силовых факторов. Они выражают их физическую сущность.

Глава 17. Напряженно-деформированное

состояние элементарного объема материала

17.1. Напряженное состояние в точке.

Закон парности касательных напряжений.

Главные площадки и главные напряжения.

Классификация напряженных состояний

Напряженное состояние в данной точке тела характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в простран­стве площадок, которые можно провести через эту точку.

Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного паралле­лепипеда, и напряжения, возникающие на его гранях, известны.

Девять величин называют компонентами (рис. 17.1) напряженного состояния в данной точке.

Из условия равновесия выделенного элемента следует, что составляющие каса­тельных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру этих площадок, равны по абсолютному значению, т. е.

Рис. 17.1. Напряжения на гранях элементарного куба

Это положение называют законом парности касательных напряжений. Следовательно, из девяти компонентов напряженного состояния независимы лишь шесть.

Первое положение теории напряженного состояния может быть сформулировано следующим образом: напряженное состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых трех проходящих через нее взаимно перпен­дикулярных площадках.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряже­ния на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными.

Классификацию видов напряженного состояния ведут по главным напряжениям. Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние называют объемным, пространственным или трехосным. В случае если одно из главных напряжений равно нулю, напряжен­ное состояние называют плоским, или двухосным, наконец, если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное:

–объемное состояние;

– плоское;

– линейное.

 

Элементы, выделенные главными площадками, для различных частных случаев напряженного состояния показаны на рис. 17.2: а – трехосное растяжение; б – трехосное сжатие; в – трехосное смешанное напряженное состояние; г – двухосное растяжение; д – двухосное сжатие; е – частный случай двухосного смешанного напряженного состояния – чистый сдвиг; ж – одноосное растяжение; з – одноосное сжатие. Площадки, свободные от напряжений, так называемые нулевые главные площадки, покрыты точками.

 

з

ж

е

д

г

в

б

а

 

Рис. 17.2. Различные случаи напряженного состояния

17.2. Однородное растяжение бруса как пример реализации

одноосного напряженного состояния материала

 

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая N_zили N (рис. 17.3, 17.4).

а

б

 

Рис. 17.3. Однородное сжатие бруса

 

б

а

 

Рис. 17.4. Однородное растяжение бруса

 

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными. При растяжении продольная сила на­правлена от сечения (рис. 17.4, б), а при сжатии – к сечению (рис. 17.3, а).

Модуль и направление (знак) продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной (оставленной после проведения сечения) части бруса:

откуда

 

Продольной силой в поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении:

 

В тех случаях когда продольные силы в различных попереч­ных сечениях бруса неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил.

Эпюра продольных сил – это график функции .

Эпюру продольных сил строят в первую очередь для того, чтобы использовать ее при расчете бруса на прочность.

Напряжения.При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения(рис. 17.5):

 

 

Рис. 17.5. Нормальные напряжения

Рис. 17.6. Местные напряжения

При растяжении напряжения считают положительными. В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения(рис. 17.6). Это явление называют концентрацией на­пряжений.

В тех случаях когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика – эпюры нормальных напряжений.

 

 

17.3. Продольная и поперечная деформации. Закон Гука.

Модуль упругости. Коэффициент Пуассона

 

Вопрос об определении нормальных напряжений теснейшим об­разом связан с расчетами бруса на прочность. Умение вычислять деформации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость, а также для определения сил в статически неопределимых системах.

Выделим из бруса, изображенного на рис. 17.7, бесконечно малый элемент длиной dz.

 

 

Рис. 17.7. К определению продольных и поперечных деформаций бруса

при его растяжении

 

Отношение приращения (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией:

 

 

Очевидно, продольная деформация – безразмерная величина. В некоторых случаях ее выражают в процентах. При растяжении продольную деформацию считают положительной, а при сжатии – отрицательной.

Отношение изменения размера поперечного сечения к его первоначальному значению называют относительным поперечным сужением (расширением), или поперечной деформацией:

 

 

Продольную и поперечную деформации называют также линейными деформациями.

В известных пределах нагружения между (деформацией) и соответствующим (действующим в ее направлении) напряжением существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость, которая носит название закона Гука и записывается в виде

 

 

Коэффициент пропорциональности E называют модулем продольной упругости (модуль упругости 1-го рода; модуль Юнга).
Е имеет ту же размерность, что и напряжение, т. е. выражается в паскалях или мегапаскалях.

Модуль продольной упругости – физическая постоянная данного материала, характеризующая его жесткость: чем жестче материал, тем меньше он деформируется при данном напряжении.

Опытным путем установлено, что при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной – величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по абсолютному значению, называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона:

 

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов находятся в пределах от 0 до 0,5.

Минимальное значение коэффициент Пуассона имеет для пробки ( = 0); максимальное – для каучука ( 0,5). Для большинства металлов и сплавов значение коэффициента Пуассона колеблется в сравнительно узких пределах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Определение изменения длины (удлинения или укорочения) бруса. Удлинение или укорочение равно

 

(17.1)

 

Выражение (17.1) часто называют формулой Гука, а произведение Е ∙ А условно называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии). Жесткость бруса (участка бруса) определяется по формуле

 

и численно равна силе, вызывающей удлинение (или укорочение) бруса, равное единице длины: 1 м или 1 см и т. п.

При расчетах в единицах СИ коэффициент жесткости выражают в ньютонах на метр (Н/м).

Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют коэффициентом податливости:

 

Коэффициент податливости численно равен удлинению (укорочению) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 H или 1 кН:

 

или

17.4. Частный случай плоского напряженного состояния –

чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

 

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, для которого отличные от нуля главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 17.8).

 

Рис. 17.8. Частный случай плоского напряженного состояния

 

Такое напряженное состояние носит название чистого сдвига. Максимальное главное напряжение следует обозначить , минимальное ; по условию ; промежуточное главное напряжение = 0.

Чистым сдвигом называют такое плоское напряженное состоя­ние, при котором в окрестности данной точки можно выделить элемент таким образом, чтобы на четы­рех его гранях были только равные между собой касательные напряжения.

В качестве примера, иллюст­рирующего возникновение чистого сдвига, рассмотрим кручение тонко­стенной трубы (рис. 17.9, а). Из условия равновесия отсеченной части трубы, изображенной отдельно на рис. 17.9, б, следует, что в поперечном сечении (любом) возни­кает лишь один внутренний силовой фактор – крутящий момент M_z, численно равный внешнему моменту М. В поперечном сечении трубы возникают касательные напряжения .

Деформация сдвига. Изобразим элемент, выделенный площадками, на которых возникают только касательные напряжения (рис. 17.10). Учитывая, что нас интересуют деформации элемента, а не его перемещения как твер­дого тела, одну из граней будем считать неподвижной. Мерой деформации сдвига служит изменение первоначального прямого угла между гранями элемента, называемое углом сдвига и обозначаемое . Угол сдвига, выражается в радианах.

 

б

а

 

Рис. 17.9. Кручение тонкостенной трубы

 

Рис. 17.10. Деформация элемента при сдвиге

 

Между углом сдвига и соответствующим касательным напряжением существует прямая пропорциональность – закон Гука при сдвиге:

 

Здесь G – упругая постоянная материала, характеризующая его жесткостьпри деформации сдвига и называемая модулем сдвига или модулем упругости 2-го рода:

 

 

Размерность модуля сдвига та же, что и напряжения.

Глава 18. Механические свойства

конструкционных материалов

 

18.1. Экспериментальные исследования механических свойств

при проведении стандартных испытаний на растяжение

 

Основные механические характеристики.

1. Прочность – способность материала не разрушаясь воспринимать внешние механические воздействия.

2. Пластичность – способность материала не разрушаясь давать значительные остаточные деформации.

3. Упругость – способность материала после снятия нагрузок восстанавливать свои первоначальные формы и размеры.

4. Твердость – способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела, практически не получающего остаточных деформаций.

По характеру нагружения различают испытания статические, динамические и испытания на усталость (при переменных напряжениях).

По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, срез, кручение, изгиб. Реже проводят испытания при сложном нагружении, например на совместное действие изгиба и кручения.

Механические испытания проводят на образцах, формы и размеры которых установлены государственными стандартами или техническими условиями (рис. 18.1).

 

 

Рис. 18.1. Образец для проведения испытаний

 

Статические испытания на растяжение.Наиболее распространенным является испытание на растяжение статической нагрузкой.

Испытания проводят на разрывных или универсальных машинах с механическим или гидравлическим силообразованием.

Машина снабжена диаграммным аппаратом, который в процессе испытания вычерчивает график зависимости между силой F, растягивающей образец, и соответствующим удлинением (рис. 18.2).

 

а

 

б

 

Рис. 18.2. График зависимости F(Δl) (а) при растягивании образца (б)

 

Для получения механических характеристик материала (т. е. для того, чтобы исключить влияние абсолютных размеров образца) эту диаграмму перестраивают: все ординаты делят на начальную площадь поперечного сечения А₀, а все абсциссы – на начальную расчетную длину l₀. В результате получают так называемую условную диаграмму растяжения (рис. 18.3).

 

 

Рис. 18.3. Диаграмма растяжения образца

 

На рис. 18.3

–предел пропорциональности – наибольшее напряже­ние, до достижения которого справедлив закон Гука;

– предел упругости – наибольшее напряжение, до достижения которого в образце не возникает остаточных деформаций;

– предел текучести – напряжение, при котором происходит рост пластических деформаций образца при практически постоянной нагрузке;

– предел прочности (или временное сопротивление) – условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения.

18.2. Условие прочности, коэффициент запаса прочности,

допускаемые напряжения

 

Конструкционные материалы можно разделить на три основные группы: пластичные, хрупкопластичные, хрупкие.

Механические испытания материалов позволяют определить те напряжения, при которых образец из данного материала разрушает­ся или в нем возникают заметные пластические деформации. Эти на­пряжения называют предельными (или опасными).

Отношение предельного напряжения к наибольшему рас­четному напряжению , возникающему в элементе конструкции при эксплуатационной нагрузке, обозначают буквой n и называют коэффициентом запаса прочности (или, как иногда говорят, коэффициент запаса):

(18.1)

 

Значение n должно быть больше единицы (n > 1), иначе прочность конструкции будет нарушена. Устанавливают значение минимально необходимого коэффициента запаса прочности. Этот коэффициент обозначают [n] и называют требуемым (или нормативным) коэффициентом запаса прочности.

Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его расчетный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого, т. е.

 

 

Это неравенство называют условием прочности.

Используя выражение (18.1), перепишем условие прочности в виде

 

(18.2)

 

Отсюда можно получить и такую форму записи условия прочности:

 

(18.3)

Правую часть последнего неравенства называют допускаемым напряжением и обозначают

 

.

 

В случае, если предельные, а следовательно, и допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают соответственно

Пользуясь понятием «допускаемое напряжение», можно сказать, что прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, т. е.

 

 

Это неравенство, так же как и неравенства (18.2) и (18.3),называют условием прочности.

Будут встречаться три упоминавшиеся уже категории напряже­ний.

1. Предельные (или опасные) напряжения, при достижении ко­торых появляются признаки непосредственного разрушения или воз­никают пластические деформации.

Эти напряжения зависят от свойств материалов и вида дефор­мации, например, для серого чугуна предельное напряжение (предел текучести) при сжатии примерно в четыре раза выше предельного напряжения при растяжении

2. Допускаемые напряжения – наибольшие напряжения, которые можно допустить в рассчитываемой конструкции из условий ее безопасной, надежной и долговечной работы.

Эти напряжения зависят от свойств материала, вида деформа­ции и требуемого (принятого или заданного) коэффициента запаса прочности.

3. Расчетные напряжения – напряжения, которые возникают в элементе конструкции под действием приложенных к нему нагрузок.

Эти напряжения зависят от нагрузок, действующих на элемент конструкции, и его размеров.

Глава 19. Расчет несущей способности

типовых элементов, моделируемых

в форме стержня

 

19.1. Расчеты на прочность стержней

при растяжении–сжатии

 

Условие прочности при растяжении–сжатии записывается в виде

 

или

 

Под следует понимать наибольшее расчетное напряжение.

Незначительное превышение наибольших расчетных напряжений над допускаемыми, конечно, не опасно, так как допускаемое напряжение составляет лишь некоторую часть от предельного, обычно до 3 %.

В зависимости от цели расчета (постановки задачи) различа­ют три вида расчетов на прочность:

1) проверочный;

2) проектный;

3) определение допускаемой нагрузки.

1. При проверочном расчете нагрузка бруса, его материал (а следовательно, допускаемое или предельное напряжение ) и размеры известны. Определению подлежит наибольшее расчетное напряжение, которое сравнивают с допускаемым. С проверочными расчетами встречаются при экспертизе выполненных проектов.

Расчетная формула (условие прочности при растяжении или сжатии) имеет вид

 

 

где – напряжение, возникающее в опасном поперечном сечении бруса (опасным называют сечение, для которого коэффициент запа­са прочности имеет наименьшее значение);

N – продольная сила в указанном сечении;

A – площадь опасного поперечного сечения;

– допускаемое напряжение ( при растяжении и при сжатии).

В ряде случаев при проверочном расчете удобнее сопостав­лять не расчетное напряжение с допускаемым, а сравнивать рас­четный коэффициент запаса прочности для опасного сечения с тре­буемым, т. е. проверять, соблюдается ли неравенство

 

 

2.При проектном расчете нагрузки и материал (допускаемые напряжения) известны, и в этом случае определяют требуемую площадь сечения бру­са А.

3. В некоторых случаях проверочный расчет удобнее вести в форме определения допускаемой нагрузки. Это целесообразно, ког­да возникает необходимость в повышении нагрузок существующего оборудования и, следовательно, надо знать их предельно допуска­емое по условию прочности значение.

При этом расчете размеры бруса и его материал (допускаемое напряжение) известны, определению подлежит нагрузка, которую можно допустить по условию его прочности. Определяют допускае­мое значение продольной силы [N]. По этому значению с помощью метода сечений определяют допускаемое значение внешних сил – нагрузок.

 

19.2. Особенности расчета статически

неопределимых стержневых систем

 

Если внутренние силы определялись только на основе условий равновесия отсеченной части системы (или отдельного бруса), си­стемы называют статически определимыми.

Системы, в которых внутренние силовые факторы (ВСФ), в ча­стности продольные силы, не могут быть определены с помощью только метода сечений, называют статически неопределимыми системами. Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных систем, также принято называть статически неопределимыми.

Брус, изображенный на рис. 19.1, жестко заделан обоими концами; в заделках возникают реакции, направленные вдоль оси бруса. Таким обра­зом на брус действует система сил, на­правленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно уравнение равновесия:

 

 

неизвестных же сил – две.

 

 

Рис. 19.1. Статически неопределимая система

 

Для решения статически неопределимой задачи помимо уравнений статики надо составить так называемые уравнения перемещений, основанные на рассмотрении деформации системы (это геометричес­кая сторона задачи) и применении закона Гука.

Пусть невесомая, весьма жесткая балка, нагруженная силой F, подвешена на стержнях (рис. 19.2). Стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые сечения. Система один раз статически неопределима: для плос­кой системы параллельных сил статика дает два независимых уравнения равнове­сия, а неизвестных сил – три. Обозначим реакции, так же, как и силы, действующие на стержни, через N₁, N₂, N₃.

 

 

Рис. 19.2. Статически неопределимая задача

Составляем уравнения равновесия приложенных к балке сил (рис. 19.3):

(19.1)

 

N3

Рис. 19.3. Схема деформации системы

 

В результате деформации стержней балка займет положение, показанное на рис. 19.3 штриховыми линиями. Действительно, предположение о высокой жесткости балки позволяет пренебречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки приводит к заключению, что все стержни удлиняются оди­наково. Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть выражена уравнением

 

 

Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получим

 

,

откуда

. (19.2)

 

Решая совместно уравнения (19.1) и (19.2), находим силы в стержнях:

 

19.3. Напряженно-деформированное состояние

при прямом поперечном изгибе

 

Изгиб – это такой вид дефор­мации бруса, при котором в его попе­речных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одно­временно с изгибающими моментами воз­никают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Плоскость, проходящую через про­дольную ось бруса (OZ) и одну из главных центральных осей его попереч­ного сечения (OY), называют главной плоскостью бруса(рис. 19.4).

 

 

Рис. 19.4. Схема нагружения бруса при прямом поперечном изгибе

 

В случае если силовая плоскость, т. е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей (см. рис. 19.4), имеет место прямой изгиб бруса. В общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент (рис. 19.5).

 

Рис. 19.5. Силовые факторы при изгибе

 

Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, который лишь искривляется, не испытывая при этом ни растяжения, ни сжатия. Это так называемый нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения бруса называется нейтральной осью или нулевой линией (см. рис. 19.4).

Брусья, работающие на прямой изгиб, принято называть балками. Схемы основных типов статически определимых балок показаны на рис. 19.6: а – простая консоль; б – двухопорная балка без консолей; в – двухопорная балка с одной консолью; г – двухопорная балка с двумя консолями. Расстояние между опорами балки называют пролетом, а длину балки, защемленной одним концом (рис. 19.9, а), иногда называют вылетом. Консолью называют часть балки, расположенную по одну сторону от опор (рис. 19.9, в, г).

 

г

в

б

а

 

Рис. 19.6. Обозначение балочных конструкций

Учитывая, что при прямом поперечном изгибе все внешние си­лы расположены в одной плоскости, при определении ВСФ нет на­добности прибегать к аксонометрическим изображениям.

Брус (балку) изображают одной линией, к которой приложены заданные нагрузки. Эта линия представляет собой продольную ось бруса.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 9.7). Считаем, что опорные реакции известны.

 

 

Рис. 19.7. К определению внутренних силовых факторов

в сечении изгибаемой балки

 

Определяем реакции в опорах:

 

откуда

откуда

.

Поперечная сила Q_y в произвольном поперечном сечении бру­са численно равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент M_x в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил,приложенных к отсеченной части, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение.

Для определенности при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов установим для них правила знаков.

При построении эпюр удобнее устанавливать знаки Q_y и M_x по внешним силам.

Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную часть балки по часовой стрелке вокруг той точки оси, которая соответствует проведен­ному сечению, вызывает положительную попереч­ную силу (рис. 19.8, а).

Внешняя сила (момент), изгибающая эту часть выпуклостью вниз, т. е. таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, дает положительный изгибающий момент (рис. 19.8, б).

 

а

б

 

Рис. 19.8. Правило знаков для Q_y и M_x

19.4. Условия прочности при прямом поперечном изгибе

 

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечныхсечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными, как известно, возникают и касательные напряжения, но они в подавля­ющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются:

 

 

 

Расчет балок из пластичных материалов.Прочность балки из пластичного материала обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, воз­никающие в опасном поперечном сечении, не превышают допускаемых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны (пока только такими балками и ограничимся), опасное сечение – то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опас­ного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Будем называть эти точки опасными. – расстояние от опасной точки до нейтральной оси. Тогда получим условие проч­ности в виде

, (19.3)

 

где – максимальное нормальное напряжение;

– максимальный изгибающий момент;

– момент инерции относительно оси ОХ – осевой момент инерции;

– допускаемое напряжение, принимаемое при статическом нагружении таким же, как и в случае растяжения (сжатия) бруса из того же материала.

В случае если поперечное сечение балки симметрично отно­сительно нейтральной оси, формулу (19.3) оказывается возможным привести к более удобному виду. Для указанных сечений где h – высота сечения (размер в направлении, перпен­дикулярном нейтральной оси), следовательно

 

 

Разделим числитель и знаменатель этого выражения :

 

 

Введем обозначение

 

и получим окончательное условие прочности в следующем виде:

 

 

где – осевой момент сопротивления, или момент сопротивления при изгибе.

Момент сопротивления – это геометрическая характеристика прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Действительно, чем больше момент сопротивления, тем меньше напряжения, возника­ющие в поперечном сечении балки при данной нагрузке.

Формула представляет собой зависимость для проверочного расчета. Значения моментов сопротивления прокатных профилей (двутавров и швеллеров) приведены в таблицах соответствующих стандартов.

Моменты сопротивления круга, кольца и прямоугольника:

а) круг

или

 

б)кольцо (рис. 19.9)

 

или

 

 

Рис. 11.9. К определению геометрических характеристик круглого сечения

 

 

в) прямоугольник

или

где h – сторона прямоугольника, перпендикулярная оси, относительно которой вычисляется момент сопротивления.

Из приведенных примеров следует, что сечение надо распола­гать таким образом, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которой момент инерции минимален, или, что то же самое, чтобы ось, относительно которой мо­мент инерции максимален, была нейтральной осью сечения. Более кратко это можно сформулировать так: следует стремиться к тому, чтобы изгиб бруса происходил в плоскости его наибольшей жесткости.

<78910111213>

---

Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 1656;

---