Решение. В рассматриваемой механической системе грузы 1, 4 совершают поступательные движения, блок 2 – вращательное
В рассматриваемой механической системе грузы 1, 4 совершают поступательные движения, блок 2 – вращательное, каток 3 – плоскопараллельное. Воспользуемся выражением для теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме
.
В него входят слагаемые, аналогичные тем, которые рассмотрены в примере 8. В конечном положении системы кинетическая энергия складывается из суммы кинетических энергий абсолютно твердых тел 1-4, входящих в систему
.
Определим кинетические энергии входящих в систему тел:
– груза 1
,
где – скорость груза 1;
– блока 2
,
где – момент инерции блока 2 (однородного цилиндра) относительно его продольной центральной оси, ; – угловая скорость блока;
– катка 3
,
где – момент инерции ступенчатого катка 3 относительно его продольной центральной оси, ; и – угловая скорость и скорость центра масс катка соответственно;
– груза 4
где – скорость груза 4.
Теперь изобразим рассматриваемую механическую систему в начальном и конечном положениях, а также все силовые факторы, действующие на эту систему (рис. 3.14). Выразим скорости тел 1-4 через угловую скорость катка . Для этого найдем кинематические зависимости:
.
Так как каток 3 катится по наклонной плоскости без скольжения, его мгновенный центр скоростей находится в точке , и
,
откуда следует, что
;
или
.
Определим кинетическую энергию всей системы, используя кинематические зависимости, выражения для моментов инерции и , а также исходные данные,
.
В рассматриваемой механической системе работу совершают только внешние силы, которые изображены для системы, находящейся в конечном положении (см. рис. 3.14). Найдем сумму работ внешних сил на заданных перемещениях точек системы с учетом того, что груз 1 переместился по вертикали на расстояние . Работы сил и равны нулю, так как точки приложения этих сил неподвижны. Работы сил и равны нулю, так как эти силы приложены в точках, которые являются мгновенными центрами скоростей. Работа силы равна нулю, так как реакция наклонной плоскости перпендикулярна перемещению груза 4. Таким образом, полная работа системы складывается из суммы работ
,
где
– работы сил тяжести , , соответственно,
;
;
;
– работа силы трения ( ),
.
Учитывая, что зависимость между перемещениями точек такая же, как и между соответствующими скоростями
,
окончательно выразим сумму полной работы сил системы
.
Подставляя в это выражение исходные данные, получим
Далее приравнивая , найдем угловую скорость катка 3
8,9 рад/с
и скорость его центра масс
м/с.
Дата добавления: 2015-06-17; просмотров: 886;