Арифметические действия над комплексными числами

Под суммой двух комплексных чисел и понимается комплексное число с = (а₁+ а₂, b₁+b₂) и обозначается с = с₁+с₂ .

Вычитание определяется как действие обратное сложению.

Под разностью двух комплексных чисел и понимается комплексное число с, такое что с₁ = с+с₂ и обозначается с = с₁-с₂. Оказывается, что эта разность единственная и притом равна .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число с равное . Действие деления определяется как обратное умножению.

Под частным двух комплексных чисел и понимается комплексное число , такое что с₁ = с·с₂ . Частное обозначается символом с = с₁/c₂ . Оказывается, что частное существует и единственно, если с₂ ≠ 0 (c₁/0 = c; c₁ = 0·с = 0; 0/0 = c; 0 = 0·с).

Действия сложения и умножения комплексных чисел обладают обычными арифметическими свойствами:

· с₁ + (с₂ + с₃) = (с₁ +с₂) + с₃ (ассоциативность сложения)

· с₁ · (с₂ · с₃) = (с₁ · с₂) · с₃ (ассоциативность умножения)

· с₁ + с₂ = с₂ + с₁ (коммутативность сложения)

· с₁ · с₂ = с₂ · с₁ (коммутативность умножения)

· с₁ · (с₂ + с₃) = с₁ · с₂ + с₁ · с₃ (дистрибутивность умножения относительно операции сложения)

Среди комплексных чисел выделяют число (0,1), которое обозначается символом i. Это число обладает характеристическим свойством:

i² = i·i = -1

Действительно i·i = (0,1)·(0,1) = (0·0-1·1, 0·1+1·0) = (-1,0) = -1

Часто пишут неправильно, что . На самом деле - .