Движение электронов в однородном электрическом поле
Предположим, что электрическое поле образовано плоским конденсатором, подключенным к батарее, с разностью потенциалов U. Размеры пластин конденсатора достаточно велики для того, чтобы пренебречь краевым эффектом и в рассматриваемом объеме считать электрическое поле однородным.
Как известно, электрон в однородном электрическом поле подвергается воздействию постоянной силы . Согласно второму закону Ньютона эта сила равна:
. (1)
Отсюда общее уравнение движения электрона в электрическом поле имеет вид:
. (2)
Это общее уравнение можно написать в виде проекций отрезка пути и вектора напряженности поля на оси координат:
, , . (З)
Расположим ось координат, как показано на рис. 1, и рассмотрим случай, когда электрон входит в однородное поле из качала координат (х = 0, y = 0, z = 0). Вектор его начальной скорости лежит в плоскости хОz и составляет с положительной осью z угол q. Отсюда составляющие начальной скорости электрона по осям:
и .
Рис. 1. Движение электрона в однородном электрическом поле.
Вектор напряженности поля параллелен оси z, и следовательно, Ех = 0, Eу = 0, Ez = E. Электрон, очевидно, будет двигаться в плоскости xOz. Следовательно, уравнения движения электрона принимают вид:
, . (4)
Интегрируя эти уравнения, получим:
, . (5)
Постоянные и можно определить, положив t = 0. Тогда составляющие скорости электрона по осям будут равны составляющим его начальной скорости :
, . (6)
Таким образом, составляющие скорости в процессе движения
, . (7)
Интегрируя повторно, получим:
, . (8)
Постоянные интегрирования при этом, очевидно, равны нулю, так как в момент t = 0 электрон находился в начале координат (х = 0, z = 0).
Согласно (8)
.
Подставляя это выражение в (8), получим:
, (9а)
или
(9б)
где
, . (10)
В выражении (10) величина ( ) обозначена через а. Она определяет ускорение электрона в соответствии с аналогией уравнения (8) уравнению равнозамедленного движения тела.
Представляет интерес, встречающийся в ряде электронных приборов случай,когда вектор начальной скорости электрона нормален к вектору напряженности поля Е: . По-прежнему в момент t = 0 электрон находится в начале координат (х = 0, у = 0, z = 0) и
, . (11)
Определяя из первого уравнения время и подставляя его во второе уравнение, получим:
. (12)
Электрон будет двигаться в плоскости xOz по параболе, отклоняясь от оси х под воздействием ускоряющего поля Е (рис. 2). Этот случай движения электрона характерен для электроннолучевых приборов, в которых поперечное поле используется для отклонения электронного потока.
Рис. 2. Движение электрона в однородном электрическом поле в случае .
Для определения траектории движения электрона в электрическом поле можно применить законы электронной оптики, используя отмеченную выше аналогию между электрическими полями и оптическими средами. Пусть, например, вектор начальной скорости электрона направлен под углом q1 к вектору напряженности электрического поля Е (рис. 3).
Выделим элементарный участок поля, на котором потенциал изменяется от U1 до U2. Ввиду однородности поля эквипотенциальные поверхности (поверхности, все точки которых обладают одним и тем же потенциалом) U1 и U2 являются плоскостями. При движении электрона из точки 1 в точку 2 под воздействием ускоряющего электрического поля увеличивается составляющая его скорости, нормальная к эквипотенциальным плоскостям: . Тангенциальная же составляющая его скорости остается неизменной: . Вследствие этого угол между вектором скорости электрона и нормалью к эквипотенциальным плоскостям изменяется: .
Из условия равенства тангенциальных составляющих скорости можно получить:
, (13)
или
. (14)
Рис. 3. Изменение составляющих скорости электрона при его движении в электрическом поле.
Выражение (13) аналогично формуле преломления светового луча на границе оптических сред:
, (15)
где и — угол падения и угол преломления светового луча соответственно, а и — коэффициенты оптической плотности двух сред.
Пользуясь выражением (14), легко найти „угол преломления" для плоского конденсатора, который является „преломляющей призмой" (рис. 4). В этом случае и
, (16)
или
. (17)
Рис. 4. Движение электрона в поле плоского конденсатора.
Отсюда легко определить угол преломления:
. (18)
Дата добавления: 2015-04-07; просмотров: 3497;