Лінійні коливальні системи без тертя

Скористаємося в рівнянні (1.1) розкладанням в ряд Тейлора

(1.2)

Для достатньо малих можемо знехтувати в (1.2) усіма членами, за винятком . Після спрощення рівняння отримаємо основне диференціальне рівняння задачі про вільні коливання:

(1.3)

де

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

який і висловлює принцип суперпозиції коливань в лінійних системах.

Можна користуватися і іншою формою запису рішення:

(1.4)

яке представляє собою незгасаючі гармонійні коливання. Тут – амплітуда коливань, – початкова фаза, які знаходяться за початковими умовами. Кругова частота пов'язана з фізичними параметрами системи і не залежить від початкових умов. З цієї причини її називають власноючастотою системи.