Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю

Розглянемо коливальний контур (рис.1.8), в якому немає лінійної залежності напруги на ємності від заряду. Такими властивостями володіють конденсатори з сегнетоелектриків. Згідно закона Кирхгофа

Рисунок 1.8 – Електричний контур

де – напруга на обкладинках конденсатора,

– струм в системі. Тоді для зміни заряду маємо рівняння

(1.21)

Задамося залежністю вольт-кулоновської характеристики (рис.1.9) конденсаторів з сегнетоелектриків, що часто зустрічається у формі кубічної параболи виду

(1.22)

Рисунок 1.9 – Вольт-кулонівська характеристика конденсатора з сегнетоелектриків

де – ємність конденсатора при ,

– коефіцієнт нелінійності.

Рівняння (1.21) приймає вигляд:

(1.23)

де

Це рівняння відноситься до вже розглянутого раніше неліній-ного рівняння типу (1.7), тому його наближене рішення можна записати відразу

(1.24)

де

(1.25)

У цьому випадку ми так само зустрічаємося з неізохронністю коливань і явищем ангармонізму. Графік (рис.1.7) залежності частоти від амплітуди відповідає верхній кривій. Звернемо увагу на ту обставину, що при . Цей результат свідчить про недостатність використання тільки першого наближення методу. Більше того, якщо навіть вважати апроксимацію точною, то при великих амплітудах коливань перше наближення (1.24) і залежність (1.25) стають непридатними. У цьому також виявляється обмеженість методу послідовних наближень.

Метод ізоклин. Фазовий портрет можна побудувати й іншим методом - методом ізоклин. Ізоклинами на фазовій площині називаються лінії, на яких нахил фазових траєкторій однаковий. Продемонструємо побудову фазового портрету методом ізоклин на прикладі нелінійного контуру.

Введемо безрозмірний заряд , безрозмірний час , а також позначення

Тоді рівняння (1.23) в фазових змінних прийме вигляд:

(1.26)

Рівняння сімейства ізоклин запишуться у вигляді: , де – довільні числа, або

(1.27)

Рисунок 1.10 – Фазовий портрет контуру з нелінійною ємністю

Бачимо, що ізоклинами є кубічні параболи з різними коефіцієнтами . Виняток становлять дві ізоклини: нульова збігається з віссю координат і ізоклина нескінченності збігається з віссю координат Ізоклини і фазовий портрет зображені на

рис. 1.10.